Fórmula de De Moivre

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A fórmula de De Moivre afirma que[1] :

Esta fórmula é importante porque estabelece uma ligação entre números complexos (i é a unidade imaginária) com a trigonometria. A expressão:

é frequentemente abreviada por:

.

ainda que a fórmula de Euler seja uma maneira mais comum de a descrever.

Abraham de Moivre foi amigo de Newton; em 1698 este último escreveu que esta fórmula era do seu conhecimento desde 1676.

A fórmula de De Moivre pode ser obtida da fórmula de Euler:

embora historicamente seja anterior a esta. Ela é um caso particular da expressão mais geral[1] :

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Vamos demonstrar[2] a fórmula para por indução e, depois generalizar, não recorrendo à fórmula de Euler. Queremos provar que

, e com sendo um número complexo.

Para a identidade é verdadeira, pois tem-se , que é a representação na forma polar de um número complexo (com e ).

Suponhamos agora que a propriedade se verifica para e provemos que também o é para . Temos:

Conseguimos provar que a fórmula se verifica, recorrendo às fórmulas e .

Queremos agora generalizar para . Para n=0 a propriedade é imediata se convencionarmos

Consideremos . Então:

Em que aplicámos propriedades dos complexos relacionadas com a potenciação e o quociente. Repare-se que agora estamos perante e não . Agora:

Aplicámos apenas a fórmula que já demonstrámos para os números naturais, uma vez que, como é negativo, é positivo (natural).

Substituindo de volta por :

, Q.E.D.

Destaque para o facto de a fórmula de De Moivre ser um caso particular para

Referências

  1. a b BROWN, J. W.; RUEL, C. V. (2003). Complex Variables and Applications (7.ª edição). McGraw-Hill Science Engineering ISBN 9780072872521. Páginas 18 a 21.
  2. A demonstração segue em grande parte a demonstração da referência anterior, ainda que seja ligeiramente diferente para evitar recorrer demasiado à fórmula de Euler.