Fórmula de Euler

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Logaritmo natural · Função exponencial

Aplicações em: juros compostos · identidade de Euler & fórmula de Euler  · meia-vida & crescimento/decaimento exponencial

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Pessoas John Napier  · Leonhard Euler

conjectura de Schanuel

Interpretação geométrica da fórmula de Euler.

A fórmula de Euler, cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, é uma fórmula matemática da área específica da análise complexa, que mostra uma relação entre as funções trigonométricas e a função exponencial (a identidade de Euler é um caso especial da fórmula de Euler). A fórmula é dada por:[1]

,

em que :

x é o argumento real (em radianos);
e é a base do logaritmo natural;
, onde é a unidade imaginária (número complexo);
e são funções trigonométricas.

A relação entre exponencial complexa e funções trigonométricas foi primeiro provada pelo matemático inglês Roger Cotes em 1714, na forma

em que ln é o logaritmo natural[2]

Prova utilizando cálculo[editar | editar código-fonte]

O ponto negro representa um número complexo. Seu valor absoluto é "r", a distãncia da origem. Seu argumento é φ, seu ângulo em radianos
A função exponencial pode ser definida como o limite de uma sequência , quando n tende ao infinito. Nesta animação, "n" assume valores crescentes entre 1 e 100. À medida que n cresce, se aproxima de -1.
Ver artigo principal: tabela de derivadas
Ver artigo principal: número complexo
Ver artigo principal: cosseno
Ver artigo principal: seno

Uma propriedade conhecida das funções exponenciais é que elas são iguais às suas derivadas:

, onde "x" é um número real.

As funções exponenciais com números complexos também satisfazem esta mesma propriedade[3]:

, onde "z" é um número complexo.

Portanto, pela regra da cadeia:

Então definimos uma nova função, que chamaremos de "f":

Pela regra do produto, que vale também para funções que tenham como imagem números complexos, a derivada de f(x) será::

Portanto, f(x) deve ser uma função constante em x. Já que f(0)=1 (o que pode ser facilmente descoberto substituindo-se x por 0 na função),

Multiplicando os dois lados por cos x + i sin x, obtemos

Prova utilizando série de Taylor[editar | editar código-fonte]

Para o estudo da fórmula de Euler necessitamos do conhecimento de expansão em séries de potência. Introduziremos uma grande ferramenta, sem uma análise profunda, que é o seguinte conceito:

A expansão em série de Taylor de uma função analítica centrada em é representada como:

com , onde

Usando esse conceito de expansão e tomando em torno de , teremos:

para todo com intervalo de convergência de

Em , na equação acima, obtém-se a expressão para o número , como uma soma de uma série infinita:

Se admitirmos a validade de substituirmos por na equação obteremos:

A primeira parte da soma da equação anterior () é a expansão do e a segunda é a expansão do em série de Maclaurin. Assim teremos a equação que ficou conhecida como fórmula de Euler

que de forma mais generalizada pode ser escrita como:

.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Se tomarmos como , então teremos um importante produto[1]:

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. Matemática para Economistas. Porto Alegre: Bookman, 2005. Reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9. Seção A3.4, páginas 871 e 872.
  2. John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.
  3. Daniels, Doug. «Complex Differentiation». Consultado em 15 May 2011. 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]