Fórmula de Euler

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Interpretação geométrica da fórmula de Euler.

A fórmula de Euler, cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, é uma fórmula matemática da área específica da análise complexa, que mostra uma relação entre as funções trigonométricas e a função exponencial (a identidade de Euler é um caso especial da fórmula de Euler). A fórmula é dada por:[1]

,

em que :

x é o argumento real (em radianos);
é a base do logaritmo natural;
, onde é a unidade imaginária (número complexo);
e são funções trigonométricas.

A relação entre exponencial complexa e funções trigonométricas foi primeiro provada pelo matemático inglês Roger Cotes em 1714, na forma

em que ln é o logaritmo natural.[2]


História[editar | editar código-fonte]

Com a introdução dos logaritmos pelo matemático e físico escocês John Napier em 1614, um grande estudo a respeito das suas propriedades surgiram, principalmente sobre logaritmos aplicados em pontos negativos. Essa pesquisa foi alavancada no século XVIII pelo matemático suíço Leonhard Euler e seu mentor Johann Bernoulli. Bernoulli acreditava que e, apesar do receio de Euler frente à essa relação, em uma das suas cartas, Euler constatou que: se . [3]


No entanto, em 1746, em uma troca de cartas à Jean d’Alembert, Euler se mostra contrário à afirmação que e apresenta uma nova proposta a ser futuramente publicada e que daria origem à equação de Euler.

, em que e . [3]

Com essa equação, utilizando os valores de 1 para k e 0 para m e n, encontra-se a equação descrita por Roger Cotes em 1714,

e, portanto,

No entanto, essas relações somente seriam oficialmente descritas por Euler em um artigo publicado em 1748 utilizando expansões de série exponenciais e expressões trigonométricas.

Prova utilizando cálculo[editar | editar código-fonte]

O ponto negro representa um número complexo. Seu valor absoluto é "r", a distãncia da origem. Seu argumento é φ, seu ângulo em radianos
A função exponencial pode ser definida como o limite de uma sequência , quando n tende ao infinito. Nesta animação, "n" assume valores crescentes entre 1 e 100. À medida que n cresce, se aproxima de -1.
Ver artigo principal: tabela de derivadas
Ver artigo principal: número complexo
Ver artigo principal: cosseno
Ver artigo principal: seno

Uma propriedade conhecida das funções exponenciais é que elas são iguais às suas derivadas:

, onde "x" é um número real.

As funções exponenciais com números complexos também satisfazem esta mesma propriedade[4]:

, onde "z" é um número complexo.

Portanto, pela regra da cadeia:

Então definimos uma nova função, que chamaremos de "f":

Pela regra do produto, que vale também para funções que tenham como imagem números complexos, a derivada de f(x) será::

Portanto, f(x) deve ser uma função constante em x. Já que f(0)=1 (o que pode ser facilmente descoberto substituindo-se x por 0 na função),

Multiplicando os dois lados por cos x + i sin x, obtemos

Prova utilizando série de Taylor[editar | editar código-fonte]

Para o estudo da fórmula de Euler necessitamos do conhecimento de expansão em séries de potência. Introduziremos uma grande ferramenta, sem uma análise profunda, que é o seguinte conceito:

A expansão em série de Taylor de uma função analítica centrada em é representada como:

com , onde

Usando esse conceito de expansão e tomando em torno de , teremos:

para todo com intervalo de convergência de

Em , na equação acima, obtém-se a expressão para o número , como uma soma de uma série infinita:

Se admitirmos a validade de substituirmos por na equação obteremos:

A primeira parte da soma da equação anterior () é a expansão do e a segunda é a expansão do em série de Maclaurin. Assim teremos a equação que ficou conhecida como fórmula de Euler

que de forma mais generalizada pode ser escrita como:

.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Se tomarmos como , então teremos um importante produto[1]:

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. Matemática para Economistas. Porto Alegre: Bookman, 2005. Reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9. Seção A3.4, páginas 871 e 872.
  2. John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.
  3. a b Klyve, Dominic (2018). «The Logarithm of -1». Digital commons Ursinus University. Consultado em 3 de dezembro de 2019 
  4. Daniels, Doug. «Complex Differentiation». Consultado em 15 de maio de 2011 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]