Fórmula de Leibniz

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A fórmula de Leibniz, em referência a Gottfried Wilhelm Leibniz, é uma fórmula que expressa a derivada de uma integral como a integral de uma derivada.

Explicitamente, seja uma função de x dada pela integral definida:

então para a derivada desta expressão é:

desde que e sejam ambas funções contínuas em uma região da forma

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

Para computar a integral de Dirichlet , considere a seguinte função

tal que, é o valor procurado e sabe-se que

integrando por partes duas vezes

portanto

integrando de 0 a infinito de ambos os lados

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

Para computar a Integral Gaussiana , reescreve a integral

.

Sabendo que, se for uma função par (prova no final),

e como é par, a integral Gaussina pode ser escrita como

.

Faça a seguinte notação. Considere a seguinte função

fazendo

integrando de 0 a infito de ambos os lados

Antes de provar que, para uma par, Considere a afirmação: Se for par, então é ímpar, tal que . Prova:

Defina .

fazendo

Agora podemos provar que, para uma par,

Usando as propriedades de , que é ímpar


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