Fórmula de Leibniz

A fórmula de Leibniz, em referência a Gottfried Wilhelm Leibniz, é uma fórmula que expressa a derivada de uma integral como a integral de uma derivada.

Explicitamente, seja uma função de x dada pela integral definida:

$\int _{y_{0}}^{y_{1}}f(x,y)\,dy$

então para $x\in (x_{0},x_{1})$ a derivada desta expressão é:

${d \over dx}\,\int _{y_{0}}^{y_{1}}f(x,y)\,dy=\int _{y_{0}}^{y_{1}}{\partial \over \partial x}f(x,y)\,dy$

desde que $f$ e $\partial f/\partial x$ sejam ambas funções contínuas em uma região da forma

$[x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}].$

Exemplos

Exemplo 1

Para computar a integral de Dirichlet $\int _{0}^{\infty }{\frac {sen\ x}{x}}dx={\frac {\pi }{2}}$ , considere a seguinte função

$f(y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {sen\ x}{x}}\ e^{-xy}dx$

tal que, $f(0)$ é o valor procurado e sabe-se que $\lim _{y\to \infty }f(y)=0.$

$f'(y)=-\int _{0}^{\infty }sen\ x\ e^{-xy}dx$

integrando por partes duas vezes

$\int sen\ x\ e^{-xy}dx={\frac {-e^{-xy}(cos\ x+y\ sen\ x)}{1+y^{2}}}$

portanto

$f'(y)=-{\frac {1}{1+y^{2}}}$

integrando de 0 a infinito de ambos os lados

$\lim _{y\to \infty }f(y)-f(0)=-{\frac {\pi }{2}}$

$f(0)={\frac {\pi }{2}}$

Exemplo 2

Para computar a Integral Gaussiana $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}$ , reescreve a integral

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx+\int _{-\infty }^{0}e^{-x^{2}}dx$.

Sabendo que, se $f$ for uma função par (prova no final),

$\int _{0}^{a}f=\int _{-a}^{0}f$

e como $e^{-x^{2}}$ é par, a integral Gaussina pode ser escrita como

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx$.

Faça a seguinte notação$\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx=I$. Considere a seguinte função

$f(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}(1+y^{2})}}{1+y^{2}}}dy$

$f'(x)=-2xe^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-(xy)^{2}}dy$

fazendo $xy=u$

$f'(x)=-2e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-(u)^{2}}du=-2e^{-x^{2}}I$

integrando de 0 a infito de ambos os lados

$\lim _{x\to \infty }f(x)-f(0)=-2I\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx$

$-{\frac {\pi }{2}}=-2I^{2}$

$2I={\sqrt {\pi }}.$

Antes de provar que, para uma $f$ par, $\int _{0}^{a}f=\int _{-a}^{0}f.$ Considere a afirmação: Se $f$ for par, então $g$ é ímpar, tal que $\int f=g$. Prova:

Defina $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt$.

$F(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt=\int _{0}^{x}f(-t)dt$

fazendo $u=-t$

$F(x)=\int _{0}^{-x}f(u)du=F(-x).$