Fórmula de Riemann–Siegel

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Em matemática a fórmula Riemann-Siegel é uma fórmula assintótica para o erro da equação funcional aproximada da função zeta de Riemann, uma aproximação da função zeta pela soma de duas séries de Dirichlet finitas. Ela foi encontrada por Siegel (1932)[1] em manuscritos não publicados de Bernhard Riemann datando dos anos 1850. Siegel derivou-a da fórmula integral Riemann-Siegel, uma expressão da função zera envolvendo integrais de contorno. Ela é frequentemente usada para calcular valores da fórmula de Riemann-Siegel, algumas vezes em combinação com o algoritmo de Odlyzko-Schönhage o qual a acelera consideravelmente.

Se M e N são inteiros não negativos, então a função zeta é igual a

\zeta(s) = \sum_{n=1}^N\frac{1}{n^s} + \gamma(1-s)\sum_{n=1}^M\frac{1}{n^{1-s}} +R(s)

onde

\displaystyle\gamma(s) = \pi^{1/2-s}\Gamma(s/2)/\Gamma((1-s)/2)

é o fator aparecendo na equação funcional ζ(s) = γ(s)ζ(1−s), e

R(s) = \frac{-\Gamma(1-s)}{2\pi i}\int \frac{(-x)^{s-1}e^{-Nx}dx}{e^x-1}

é uma integral de contorno na qual o contorno inicia e termina em +∞ e circula as singularidades de valor absoluto no máximo 2πM. A equação funcional aproximada da uma estimativa para o tamanho do termo erro.

Siegel (1932)[1] e Edwards (1974)[2] derivam a fórmula Riemann-Siegel disto por aplicação do método da descida mais íngreme a esta integral para obter uma expansão assintótica para o termo erro R(s) como uma série de potências negativas de Im(s).

Em aplicações s é normalmente sobre a linha crítica, e os inteiros positivos M e N são escolhidos para serem aproximadamente (2π Im(s))1/2. Gabcke (1979)[3] encontrou encontraram limites bom para o erro da fórmula de Riemann-Siegel.

Fórmula integral de Riemann[editar | editar código-fonte]

Riemann mostrou que

\int_{0\searrow 1}\frac{e^{-i\pi u^2+2\pi i pu}du}{e^{\pi i u}-e^{-\pi i u}} =
\frac{e^{i\pi p^2}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}- e^{-i\pi p}}

onde o contorno de integração é uma linha de declive −1 passando entre 0 e 1 (Edwards, 1974, 7.9[2] ).

Ele usou isto para obter a seguinte formula integral para a função zeta:

\displaystyle\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)=
 \pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\int_{0\swarrow 1}\frac{x^{-s}e^{\pi i x^2}}{e^{\pi i x}-e^{-\pi i x}}dx
+\pi^{-(1-s)/2}\Gamma((1-s)/2)\int_{0\searrow 1}\frac{x^{s-1}e^{-\pi i x^2}}{e^{\pi i x}-e^{-\pi i x}}dx

Referências gerais[editar | editar código-fonte]

  1. a b Siegel, C. L. (1932), "Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie", Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2: 45-80 Relançado em Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
  2. a b Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, MR0466039, ISBN 978-0-486-41740-0
  3. Gabcke, Wolfgang (1979), Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel, Georg-August-Universität Göttingen

Ligações externas[editar | editar código-fonte]