Constante de normalização

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A constante de normalização é um conceito que surge em teoria das probabilidades e em outras áreas da matemática. A constante de normalização é usada para reduzir qualquer função de probabilidade a uma função densidade de probabilidade com probabilidade total igual a 1.

Definição e exemplos

Em teoria das probabilidades, uma constante de normalização é uma constante pela qual uma função não negativa em todo lugar deve ser multiplicada de modo que a área sob sua gráfico seja igual a 1, por exemplo, para tornar a função uma função densidade de probabilidade ou uma função massa de probabilidade. Por exemplo, se definirmos

$p(x)=e^{-x^{2}/2},x\in (-\infty ,\infty ),$

teremos

$\int _{-\infty }^{\infty }p(x)dx=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}dx={\sqrt {2\pi }}$

e, se definirmos uma função $\varphi (x)$ como

$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2},$

de modo que

$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}dx=1,$

então a função $\varphi (x)$ é uma função densidade de probabilidade. Esta é a densidade da distribuição normal padrão, isto é, com valor esperado igual a 0 e variância igual a 1.

A constante ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ é a constante de normalização da função $p(x)$.

De forma semelhante,

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}=e^{\lambda }$

e, consequentemente,

$f(n)={\frac {\lambda ^{n}e^{-\lambda }}{n!}}$

é a uma função massa de probabilidade no conjunto de todos os números inteiros não negativos. Esta é a função massa de probabilidade da distribuição de Poisson com valor esperado igual a $\lambda$.

Se a função densidade de probabilidade for uma função de vários parâmetros, assim também será sua constante de normalização. A constante de normalização parametrizada para a distribuição de Boltzmann desempenha uma papel central na mecânica estatística. Neste contexto, a constante de normalização é chamada de função de partição.

Teorema de Bayes

O teorema de Bayes diz que a medida de probabilidade a posteriori é proporcional ao produto da medida de probabilidade a priori pela função de verossimilhança. "Proporcional ao" implica que se deve multiplicar ou dividir por uma constante de normalização para atribuir medida 1 ao espaço inteiro, isto é, para obter uma medida de probabilidade. No caso discreto simples, temos

$P(H_{0}|D)={\frac {P(D|H_{0})P(H_{0})}{P(D)}},$

em que $P(H_{0})$ é a probabilidade a priori de que a hipótese seja verdadeira; $P(D|H_{0})$ é a probabilidade condicional dos dados, sendo a hipótese verdadeira, mas já que os dados são conhecidos, é a verossimilhança da hipótese (ou seus parâmetros), levando em conta os dados; $P(H_{0}|D)$ é a probabilidade a posterior de que hipótese seja verdadeira, levando em conta os dados; $P(D)$ deve ser a probabilidade de produzir os dados, sendo por si só difícil de calcular, mas havendo uma forma alternativa de descrever esta relação em termos de proporcionalidade

$P(H_{0}|D)\propto P(D|H_{0})P(H_{0}).$

Já que $P(H|D)$ é uma probabilidade, a soma sobre todas as hipóteses possíveis (e mutuamente exclusivas) deve ser igual a 1, o que leva à conclusão que:

$P(H_{0}|D)={\frac {P(D|H_{0})P(H_{0})}{\displaystyle \sum _{i}P(D|H_{i})P(H_{i})}}.$

Neste caso, o inverso multiplicativo do valor

$P(D)=\sum _{i}P(D|H_{i})P(H_{i})$

é a constante de normalização. Pode ser estendida de muitas hipóteses contáveis a muitas hipóteses incontáveis ao substituir a soma por uma integral.

Usos não probabilísticos

Os polinômios de Legendre são caracterizados pela ortogonalidade com respeito à medida uniforme no intervalo $[-1,1]$ e pelo fato de que são normalizados, de modo que seu valor em 1 seja 1. A constante pela qual se multiplica um polinômio de modo que seu valor em 1 seja 1 é uma constante de normalização.

Funções ortonormais são normalizadas, de modo que

$\langle f_{i},f_{j}\rangle =\delta _{i,j}$

com respeito a algum produto interior $<f,g>$.

A constante $1/{\sqrt {2}}$ é usada para estabelecer as funções hiperbólicas $\cos h$ e o $\operatorname {sen} h$ a partir dos comprimentos dos lados adjacentes e opostos de um triângulo hiperbólico.