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Fluxograma das relações entre estruturas algébricas diversas Em teoria dos anéis , um domínio de integridade
D
{\displaystyle D}
fatoração única (de onde é chamado de DFU, significando domínio de fatoração única ) ou fatorial se:
∀
a
∈
D
{\displaystyle \forall a\in D}
a
∉
D
∗
{\displaystyle a\notin D^{*}}
D
∗
{\displaystyle D^{*}}
D
{\displaystyle D}
a
≠
0
{\displaystyle a\not =0}
∃
c
i
∈
D
{\displaystyle \exists c_{i}\in D}
∀
i
∈
I
n
{\displaystyle \forall i\in I_{n}}
a
=
∏
i
=
1
n
c
i
{\displaystyle a=\prod _{i=1}^{n}c_{i}}
Seja
a
=
∏
i
=
1
n
c
i
{\displaystyle a=\prod _{i=1}^{n}c_{i}}
a
=
∏
j
=
1
m
d
j
{\displaystyle a=\prod _{j=1}^{m}d_{j}}
c
i
,
d
j
{\displaystyle c_{i},d_{j}}
∀
i
∈
I
n
{\displaystyle \forall i\in I_{n}}
∀
j
∈
I
m
{\displaystyle \forall j\in I_{m}}
⇒
m
=
n
{\displaystyle \Rightarrow m=n}
∃
σ
:
I
n
→
I
n
{\displaystyle \exists \sigma :I_{n}\rightarrow I_{n}}
bijeção , tal que
c
i
{\displaystyle c_{i}}
d
σ
(
i
)
{\displaystyle d_{\sigma (i)}}
O anel dos números inteiros é um domínio fatorial. Usando o teorema fundamental da aritmética e sabendo que as unidades dos inteiros são 1 e -1 e que
∀
a
∈
Z
{\displaystyle \forall a\in \mathbb {Z} }
a
{\displaystyle a}
−
a
{\displaystyle -a}
∀
a
∈
Z
{\displaystyle \forall a\in \mathbb {Z} }
a
∉
{
−
1
,
1
}
{\displaystyle a\notin \{-1,1\}}
a
≠
0
{\displaystyle a\not =0}
∃
c
i
∈
D
{\displaystyle \exists c_{i}\in D}
∀
i
∈
I
n
{\displaystyle \forall i\in I_{n}}
a
=
∏
i
=
1
n
c
i
{\displaystyle a=\prod _{i=1}^{n}c_{i}}
Seja
a
=
∏
i
=
1
n
c
i
{\displaystyle a=\prod _{i=1}^{n}c_{i}}
a
=
∏
j
=
1
m
d
j
{\displaystyle a=\prod _{j=1}^{m}d_{j}}
c
i
,
d
j
{\displaystyle c_{i},d_{j}}
∀
i
∈
I
n
{\displaystyle \forall i\in I_{n}}
∀
j
∈
I
m
{\displaystyle \forall j\in I_{m}}
⇒
m
=
n
{\displaystyle \Rightarrow m=n}
∃
σ
:
I
n
→
I
n
{\displaystyle \exists \sigma :I_{n}\rightarrow I_{n}}
bijeção , tal que
c
i
{\displaystyle c_{i}}
d
σ
(
i
)
{\displaystyle d_{\sigma (i)}}
c
i
{\displaystyle c_{i}}
d
σ
(
i
)
=
c
i
{\displaystyle d_{\sigma (i)}=c_{i}}
d
σ
(
i
)
=
−
c
i
{\displaystyle d_{\sigma (i)}=-c_{i}}
Todo corpo é, trivialmente, um domínio fatorial. Este exemplo não parece muito interessante, mas ganha importância como caso particular do próximo exemplo
Se D é um domínio fatorial, então o anel de polinômios com coeficientes em D , D[x] , também é um domínio fatorial Seja
D
{\displaystyle D}
anel comutativo ,
u
∈
D
{\displaystyle u\in D}
unidade , então
∃
u
−
1
∈
D
{\displaystyle \exists u^{-1}\in D}
u
u
−
1
=
1
{\displaystyle uu^{-1}=1}
u
−
1
{\displaystyle u^{-1}}
elemento inverso de
u
{\displaystyle u}
D
∗
⊂
D
{\displaystyle D^{*}\subset D}
D
{\displaystyle D}
u
∈
D
{\displaystyle u\in D}
u
∈
D
∗
{\displaystyle u\in D^{*}}
Seja
1
∈
D
{\displaystyle 1\in D}
1
∗
1
=
1
{\displaystyle 1*1=1}
1
{\displaystyle 1}
elemento inverso .
Seja
D
=
K
{\displaystyle D=K}
∀
a
∈
K
{\displaystyle \forall a\in K}
a
{\displaystyle a}
K
=
K
∗
{\displaystyle K=K^{*}}
Seja
D
=
Z
{\displaystyle D=\mathbb {Z} }
1, -1 são unidades.
Como
|
a
|
|
b
|
=
|
a
b
|
{\displaystyle |a||b|=|ab|}
∀
x
∈
Z
,
|
x
|
≥
1
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {Z} ,|x|\geq 1}
∀
x
∈
Z
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {Z} }
|
x
|
≥
2
{\displaystyle |x|\geq 2}
x
{\displaystyle x}
Z
∗
=
{
−
1
,
1
}
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}=\{-1,1\}}
Sejam
D
{\displaystyle D}
anel comutativo e
a
,
b
∈
D
{\displaystyle a,b\in D}
a
|
b
{\displaystyle a|b}
a
{\displaystyle a}
divide
b
{\displaystyle b}
∃
q
∈
D
{\displaystyle \exists q\in D}
b
=
q
a
{\displaystyle b=qa}
a
,
b
∈
D
{\displaystyle a,b\in D}
associados se
a
|
b
{\displaystyle a|b}
b
|
a
{\displaystyle b|a}
Seja
D
{\displaystyle D}
dominio : Seja
a
,
b
∈
D
{\displaystyle a,b\in D}
a
|
b
e
b
|
a
⇒
∃
u
,
u
−
1
∈
D
{\displaystyle a|b\ e\ b|a\Rightarrow \exists u,u^{-1}\in D}
b
=
a
u
{\displaystyle b=au}
a
=
b
u
−
1
{\displaystyle a=bu^{-1}}
a
=
0
⇔
b
=
0
{\displaystyle a=0\Leftrightarrow b=0}
a
≠
0
{\displaystyle a\not =0}
a
=
a
u
u
−
1
⇒
a
∗
(
u
u
−
1
−
1
)
=
0
⇒
u
u
−
1
−
1
=
0
⇒
u
u
−
1
=
1
{\displaystyle a=auu^{-1}\Rightarrow a*(uu^{-1}-1)=0\Rightarrow uu^{-1}-1=0\Rightarrow uu^{-1}=1}
u
{\displaystyle u}
∃
u
∈
D
{\displaystyle \exists u\in D}
b
=
a
u
{\displaystyle b=au}
Seja
a
,
b
∈
D
{\displaystyle a,b\in D}
∃
u
∈
D
{\displaystyle \exists u\in D}
b
=
a
u
{\displaystyle b=au}
a
|
b
{\displaystyle a|b}
u
{\displaystyle u}
∃
u
−
1
∈
D
{\displaystyle \exists u^{-1}\in D}
u
∗
u
−
1
=
1
{\displaystyle u*u^{-1}=1}
b
=
a
u
⇒
b
u
−
1
=
a
u
u
−
1
⇒
b
u
−
1
=
a
{\displaystyle b=au\Rightarrow bu^{-1}=auu^{-1}\Rightarrow bu^{-1}=a}
b
|
a
{\displaystyle b|a}
a
|
b
{\displaystyle a|b}
b
|
a
{\displaystyle b|a}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
Portanto em um domínio ,
a
,
b
∈
D
{\displaystyle a,b\in D}
∃
u
∈
D
{\displaystyle \exists u\in D}
b
=
a
u
{\displaystyle b=au}
Em um corpo
K
{\displaystyle K}
∀
x
,
y
∈
K
{\displaystyle \forall x,y\in K}
Nos inteiros
∀
n
∈
Z
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} }
−
n
{\displaystyle -n}
Seja
A
{\displaystyle A}
anel comutativo . Um elemento
c
∈
A
{\displaystyle c\in A}
irredutivel se
c
≠
0
{\displaystyle c\neq 0}
c
∉
A
∗
{\displaystyle c\not \in A^{*}}
c
=
a
b
{\displaystyle c=ab}
a
,
b
∈
A
{\displaystyle a,b\in A}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
Uma definição semelhante a de elemento irredutível é a de elemento primo ja que
p
∈
A
{\displaystyle p\in A}
p
≠
0
{\displaystyle p\neq 0}
p
∉
A
∗
{\displaystyle p\not \in A^{*}}
p
|
a
b
{\displaystyle p|ab}
a
,
b
∈
A
{\displaystyle a,b\in A}
p
|
a
{\displaystyle p|a}
p
|
b
{\displaystyle p|b}
Seja
A
{\displaystyle A}
domínio e
p
∈
A
{\displaystyle p\in A}
p
=
a
b
⇒
p
|
a
b
⇒
p
|
a
o
u
p
|
b
{\displaystyle p=ab\Rightarrow p|ab\Rightarrow p|a\ ou\ p|b}
p
|
a
⇒
∃
q
∈
A
{\displaystyle p|a\Rightarrow \exists q\in A}
a
=
p
q
⇒
a
=
a
b
q
{\displaystyle a=pq\Rightarrow a=abq}
a
≠
0
{\displaystyle a\not =0}
b
{\displaystyle b}
Seja
Z
[
i
5
]
=
{
a
+
i
b
5
|
a
,
b
∈
Z
}
{\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]=\{a+ib{\sqrt {5}}|a,b\in \mathbb {Z} \}}
Z
[
i
5
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}
domínio ,
2
,
3
∈
Z
[
i
5
]
{\displaystyle 2,3\in \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}
2
∗
3
=
6
=
(
1
+
i
5
)
(
1
−
i
5
)
{\displaystyle 2*3=6=(1+i{\sqrt {5}})(1-i{\sqrt {5}})}
Arnaldo Garcia e Yves Lequain. Álgebra: um curso de introdução . Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1988. 213 páginas (Projeto Euclides)
Richard A. Dean. Elementos de Álgebra Abstrata ; tradução de Carlos Alberto A. de Carvalho. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1974. 332 páginas. (com texto, problemas e exercícios) 
Ver artigo principal: Unidade (teoria dos anéis)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]=\{a+ib{\sqrt {5}}|a,b\in \mathbb {Z} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4228619295cd97515dbaa7f42527cd72ddfbee39)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d2f0f809f3e7ad192658c61cc1ae46e2a1901d)
![{\displaystyle 2,3\in \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b13fa7bd5a458d4844607dc29c571345952c28d2)
