Fatorial

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0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5.040
8 40.320
9 362.880
10 3.628.800
15 1.307.674.368.000
20 2.432.902.008.176.640.000
25 15.511.210.043.330.985.984.000.000
50 3,0414093201713378044 × 1064
70 1,19785717... × 10100
450 1,73336873... × 101.000
3.249 6,41233768... × 1010.000
25.206 1,205703438... × 10100.000
100.000 2,8242294079... × 10456.573

Na matemática, o fatorial (AO 1945: factorial) de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808.

Definição[editar | editar código-fonte]

A função fatorial é normalmente definida por:

Por exemplo,

Note que esta definição implica em particular que

porque o produto vazio, isto é, o produto de nenhum número é 1. Deve-se prestar atenção neste valor pois este faz com que a função recursiva

funcione para n = 0.

A função fatorial também pode ser definida (inclusive para não-inteiros) através da função gama:

A sequência dos fatoriais (sequência A000142 na OEIS) para n = 0, 1, 2,... começa com:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800,...

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coeficiente binomial. Veja também binômio de Newton.

Os fatoriais também aparecem em cálculo. Por exemplo, no teorema de Taylor, que expressa a função f(x) como uma série de série de potências em x. A razão principal é que o n derivativo de xn é n!. Os fatoriais também são usados extensamente na teoria da probabilidade.

Os fatoriais são também frequentemente utilizados como exemplos simplificados de recursividade, em ciência da computação, porque satisfazem as seguintes relações recursivas: (se n ≥ 1):

n! = n (n − 1)!

Como Calcular Fatoriais[editar | editar código-fonte]

O valor numérico de n! pode ser calculado por multiplicação repetida se n não for grande demais. É isto que as calculadoras fazem. O maior fatorial, que a maioria das calculadoras suportam é 69!, porque 70! > 10100.

Quando n é grande demais, n! pode ser calculado com uma boa precisão usando a aproximação de Stirling:

Esta é uma versão simplificada que pode ser provada usando a matemática básica do ensino secundário; a ferramenta essencial é a indução matemática. Esta é aqui apresentada na forma de um exercício:

Logaritmo de Fatorial[editar | editar código-fonte]

O logaritmo de um fatorial pode ser usado para calcular o número de dígitos que a base de um fatorial irá ocupar. ln(n!) pode ser facilmente calculado da seguinte forma:

Note que esta função, demonstrada graficamente, é quase linear para valores baixos; mas o fator cresce de maneira arbitrária, embora vagarosa. Por exemplo, este é o gráfico de seus primeiros 20 mil valores:

Log-factorial.PNG

Uma boa aproximação para ln(n!) é fazer o logaritmo da fórmula de Stirling.

Generalidades[editar | editar código-fonte]

A função gama similar[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Função gama

A função gama Γ(z) é definida para todos os números complexos z exceto os inteiros não positivos (z = 0, −1, −2, −3, ...). Relaciona-se aos fatoriais pelo fato de que satisfaz um relacionamento recursivo similar àquele da função fatorial:

Junto com a definição Γ(1) = 1 isto gera a equação

Devido a este relacionamento, a função gama é frequentemente tida como uma generalização da função fatorial para o domínio dos números complexos. Isso é justificado pelas seguintes razões:

  • Significado compartilhado — a definição canônica da função factorial é o relacionamento recursivo mencionado, compartilhado por ambos.
  • Unicidade — a função gama é a única função que satisfaz o relacionamento recursivo mencionado para o domínio dos números complexos e é holomórfica e cuja restrição ao eixo positivo real é convexa no log. Ou seja, é a única função que poderia ser uma generalização da função fatorial.
  • Contexto — a função gama é geralmente usada num contexto similar ao dos factoriais (mas, é claro, onde um domínio mais geral for de interesse).

Multifactoriais[editar | editar código-fonte]

Uma notação relacionada comum é o uso de múltiplos pontos de exclamação para simbolizar um multifactorial, o produto de inteiros em passos de dois (n!!), três (n!!!), ou mais.

n!! denota o factorial duplo de n e é definido recursivamente por

Por exemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 e 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. A sequência de factoriais duplos para n = 0, 1, 2,... é :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Algumas identidades envolvendo factoriais duplos são:

Deve-se ser cuidadoso para não interpretar n!! como o factorial de n!, que deveria ser escrito (n!)! e é um número muito maior (para n>2).

O factorial duplo é a variante mais comumente usada, mas pode-se definir o factorial triplo do mesmo modo (n!!!) e assim por diante. Em geral, o k-ésimo factorial, notado por n!(k), é definido recursivamente como

Hiperfactoriais[editar | editar código-fonte]

Ocasionalmente o hiperfactorial de n é considerado. É escrito como H(n) e definido por

Para n = 1, 2, 3, 4,... os valores de H(n) são 1, 4, 108, 27648,...

A função hiperfactorial é similar à factorial, mas produz números maiores. A taxa de crescimento desta função, contudo, não é muito maior que um factorial regular.

Superfactoriais[editar | editar código-fonte]

Neil Sloane e Simon Plouffe definiram o superfactorial em 1995 como o produto dos primeiros n fatoriais. Assim, o superfatorial de 4 é

No geral,

A sequência de superfatoriais começa (de n=0) como:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... (sequência A000178 na OEIS)

Esta ideia pode ser facilmente estendida para superduperfatorial como o produto dos primeiros n superfactoriais (iniciando com n=0), assim

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ... (sequência A055462 na OEIS)

e aí em diante, recursivamente para todos os fatoriais múltiplos, onde o m-factorial de n é o produto dos primeiros n (m-1)-factoriais, i.e.

onde para e .

Hiperfatoriais (definição alternativa)[editar | editar código-fonte]

Clifford Pickover, no seu livro Keys to Infinity, de 1995, define o superfactorial de n, escrito comodidade n$ (o $ deveria, na verdade, ser um sinal de fatorial ! com um S sobrepusto) como

onde a notação científica (4) denota o operador hyper4, ou usando a notação da seta de Knuth,

Esta sequência de superfatoriais começa quando se usa:

Fatoração prima de fatoriais[editar | editar código-fonte]

A potência de p que ocorre na fatoração prima de n! é

Esta fórmula permite que fatoriais grandes sejam fatorados eficientemente.

O Teorema de Wilson diz que (p-1)! + 1 é um múltiplo de p se, e somente se, p for um número primo.

Algoritmo[editar | editar código-fonte]

Um exemplo clássico do cálculo de fatorial na linguagem de programação C.

Recursivo[editar | editar código-fonte]

int fatorial (int numero) {
    return numero == 0 ? 1 : numero * fatorial(numero - 1);
}

Iterativo[editar | editar código-fonte]

int fatorial (int numero) {
    int resultado = numero;
    if (numero == 0) resultado++;
    while (numero > 1) resultado *= --numero;
    return resultado;
}

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]