Fibrado de espinores

Em geometria diferencial, dado uma estrutura espinorial sobre uma variedade Riemanniana $n$-dimensional $(M,g),\,$ define-se o fibrado de espinores, ou fibrado espinorial, como sendo o fibrado vetorial complexo $\pi _{\mathbf {S} }\colon {\mathbf {S} }\to M\,$ associado ao correspondente fibrado principal $\pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,$ de estruturas de espinores sobre $M$ e a representação espinorial de seus grupo de estrutura ${\mathrm {Spin} }(n)\,$ sobre o espaço de espinores $\Delta _{n}.\,$.

Uma seção do fibrado espinorial ${\mathbf {S} }\,$ é chamada de corpo de espinores.

Definição formal

Seja $({\mathbf {P} },F_{\mathbf {P} })$ uma estrutura espinorial sobre uma variedade Riemanniana $(M,g),\,$ isto é, uma elevação equivariante da estrutura de fibrado ortonormal orientada $\mathrm {F} _{SO}(M)\to M$ em relação ao duplo recobrimento $\rho \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {SO} }(n).\,$

O fibrado espinorial ${\mathbf {S} }\,$ é definido como sendo o fibrado vetorial complexo

${\mathbf {S} }={\mathbf {P} }\times _{\kappa }\Delta _{n}\,$

associado à estrutura espinorial ${\mathbf {P} }$ via a representação espinorial onde ${\mathrm {U} }({\mathbf {W} })\,$ denota o grupo de operadores unitários atuando sobre um espaço de Hilbert ${\mathbf {W} }.\,$Deve ser observado que a representação espinorial $\kappa$ é representação unitária e fiel do grupo ${\mathrm {Spin} }(n)$.

Ver também

• Estrutura de fibrado ortonormal
• Campo espinorial
• Variedade espinorial
• Representação espinorial
• Geometria espinorial
• Fibrado de Clifford
• Fibrado de módulo de Clifford

Leitura adicional

• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Spin Geometry. [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5 
• Friedrich, Thomas (2000), Dirac Operators in Riemannian Geometry, ISBN 978-0-8218-2055-1, American Mathematical Society