Fluxo bidimensional

O movimento fluido é chamado de fluxo bidimensional quando a velocidade de fluxo em qualquer ponto é paralela a um plano fixo. A velocidade em qualquer ponto relacionado a esse plano fixo deve ser constante.

Velocidade de fluxo em fluxos bidimensionais

Velocidade de fluxo em coordenadas cartesianas

Considerando um fluxo bidimensional no plano $X-Y$, a velocidade de fluxo em qualquer ponto $(x,y,z)$ em um tempo $t$ pode ser expressa como –

${\bar {\boldsymbol {v}}}(x,y,z,t)=v_{x}(x,y,z,t){\hat {\boldsymbol {i}}}+v_{y}(x,y,z,t){\hat {\boldsymbol {j}}}.$

Velocidade em coordenadas cilíndricas

Considerando um fluxo bidimensional no plano $r-\theta$, a velocidade de fluxo em qualquer ponto $(r,\theta ,z)$ em um tempo $t$ pode ser expressa como –

${\bar {\boldsymbol {v}}}(r,\theta ,z,t)=v_{r}(r,\theta ,z,t){\hat {\boldsymbol {r}}}+v_{\theta }(r,\theta ,z,t){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.$

Vorticidade em fluxos bidimensionais

Vorticidade em coordenadas Cartesianas

Vorticidade em fluxos bidimensionais no plano $X-Y$pode ser expressa como –

${\bar {\boldsymbol {\omega }}}=\omega _{z}{\hat {\boldsymbol {k}}},$

$\omega _{z}={\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}.$

Vorticidade em coordenadas cilíndricas

Vorticidade em fluxos bidimensionais no plano $r-\theta$ pode ser expressa como –

${\bar {\boldsymbol {\omega }}}=\omega _{z}{\hat {\boldsymbol {k}}}$

$\omega _{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r{\frac {\partial \psi }{\partial r}})+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}.$

Fonte e sumidouro bidimensional

Linha ou ponto de fonte

Uma linha de fonte é uma linha da qual o fluído aparece e fluí contra nos planos perpendiculares a linha. Quando nós consideramos fluxos 2-D (bidimensionais) em um plano perpendicular, uma linha de fonte aparece como um ponto de fonte. Por simetria, nós podemos assumir que o fluido escoa radialmente para fora da fonte. A força da fonte é dada pela taxa de volume do fluxo $Q$ que este gera.

Fig 1 – Linhas de corrente do fluxo geradas pela linha de origem coincidindo com o eixo $Z$

Linha ou ponto de sumidouro

Similar a linha de fonte, a linha de sumidouro é uma linha que absorve o fluído que flui em direção a ela, dos planos perpendiculares e esta. Quando consideramos fontes 2-D no plano perpendicular, se parece com um ponto de sumidouro. Por simetria, nós assumidos que o fluido escoa radialmente em direção a origem. A força do sumidouro é dada pela taxa de volume do fluxo $Q$do fluido que este absorve.

Tipos de fluxo bidimensional

Fluxo de fonte uniforme

Um campo de fluxo simétrico direcionado para fora de um ponto comum é chamado um ponto de fonte. O ponto central comum é o ponto de origem descrito acima. O fluido é fornecido a uma taxa constante $Q$ da fonte. Conforme o fluido flui para fora, a área de fluxo aumenta. Como resultado, para satisfazer a equação de continuidade, a velocidade diminui e as linhas de corrente se espalham. A velocidade em todos os pontos de uma determinada distância da fonte é a mesma.

Fig 2 - Linhas de corrente e linhas potenciais para um fluxo de fonte

A velocidade de fluxo do fluido pode ser dada como –

${\bar {\boldsymbol {v}}}=v_{r}(r){\hat {\boldsymbol {e}}}_{r}.$

Nós podemos derivar a relação entre a taxa de fluxo e a velocidade do fluxo. Considere um cilindro com uma unidade de tamanho, coaxial com a fonte. A taxa a qual a fonte emite o fluido deve ser igual a taxa que o fluido flui para fora da superfície do cilindro.

$\int \limits _{S}{\bar {\boldsymbol {v}}}\cdot {d{\bar {\boldsymbol {S}}}}=2\pi rv_{r}(r)=Q,$

$\therefore \;\;v_{r}(r)={\frac {Q}{2\pi r}}.$

A função da corrente associada com o fluxo fonte é –

$\psi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\theta .$

O fluxo constante do ponto de fonte é irrotacional, e pode ser derivado da velocidade potencial. A velocidade potencial é dada por –

$\phi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\ln r.$

Fluxo de sumidouro uniforme

Fluxo de sumidouro é o oposto de fluxo de origem. As linhas de corrente são radiais, direcionadas ao centro da origem. Conforme chega-se perto do sumidouro, a área de fluxo diminui. Para satisfazer a equação de continuidade, as linhas de corrente são agrupadas mais perto umas das outras e a velocidade aumenta conforme se chega mais perto da origem. Assim como na origem do fluxo, a velocidade em todos os pontos equidistantes do sumidouro é igual.

Fig 3 – Linhas de corrente e linhas potenciais para um fluxo de sumidouro

A velocidade do fluxo em volta do sumidouro pode ser dada por –

${\bar {\boldsymbol {v}}}=-v_{r}(r){\hat {\boldsymbol {e}}}_{r},$

$v_{r}(r)={\frac {Q}{2\pi r}}.$

A função de corrente associada com o fluxo do sumidouro é –

$\psi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\theta .$

O fluxo em volta da linha do sumidouro é irrotacional e pode ser derivada da velocidade potencial. A velocidade potencial em volta do sumidouro pode ser dada por –

$\phi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\ln r.$

Vórtice irrotacional

Um vórtice é a região de onde o fluído fluí em volta do seu eixo imaginário. Para um vórtice irrotacional, o fluxo em cada ponto é tal que uma pequena partícula colocada nele passa por uma translação pura e não gira. A velocidade varia inversamente com o raio neste caso. A velocidade tende ao $\inf$ quando $r=0$, que é a razão para o centro ser um ponto singular. A velocidade é matematicamente expressada por –

${\boldsymbol {v}}=v_{\theta }{\hat {\boldsymbol {e}}}_{\theta },$

$v_{\theta }={\frac {K}{2\pi r}}.$

Como o fluido flui em volta do seu eixo,

$v_{r}=0.$

A função de corrente para vórtices irrotacionais é dada por –

$\psi =-{\frac {K}{2\pi }}\ln r.$

Enquanto que a velocidade potencial é expressa como –

$\phi =-{\frac {K}{2\pi }}\theta .$

Para as fontes de encerramento com curva fechada, circulação (linha integral do campo de velocidade) $\Gamma =K$ e para qualquer outra curva fechada, $\Gamma =0$

Fig 4 – Linhas de corrente e linhas potenciais para um vórtice irrotacional

Dipolo

Um dipolo pode ser pensado como a combinação da fonte com o sumidouro de forças iguais mantidos a uma distância infinitamente pequena. Assim as linhas de corrente podem ser vistas como o começo e o fim no mesmo ponto. A força do dipolo feito pela fonte e sumidouro de força $Q$ mantidos a uma distância $ds$ é dada por –

$\Lambda =Q{\frac {ds}{2\pi }}.$

A velocidade de fluxo do fluido pode ser expressa como –

${\boldsymbol {v}}=v_{r}{\hat {\boldsymbol {e}}}_{r}+v_{\theta }{\hat {\boldsymbol {e}}}_{\theta },$

$v_{r}=-{\frac {\Lambda }{r^{2}}}\cos \theta ,$

$v_{\theta }={\frac {-\Lambda }{r^{2}}}\sin \theta .$

Fig 5 - Linhas de corrente e linhas potenciais para um dipolo

As equações e a plotagem são para a condição limite de $ds\rightarrow 0$

O conceito de dipolo é muito similar ao de dipolos elétricos e imãs dipolos em eletrodinâmica.

Referência

• "Fonte:< Charles Fitts,Águas Subterrâneas, editora: Elsevier Brasil, 2015. ISBN 9788535277456>"
• "Fonte:<Manuel de Matos Fernandes,Mecânica dos Solos- Introdução á Engenharia Geotécnica,editora: feupedicoes,2011. ISBN 9789727521364>"

• "Fonte:<Carlos de Sousa Pinto,Curso Básico de Mecânica dos Solos em: 16 aulas,editora:Oficina de Textos,2006. ISBN 9788586238512>"

Ligações Externas

• Two-dimensional sources and sinks
• Cap. VII Escoamentos Potênciais Bidimensionais
• Movimento de Agua nos Solos