Folium de Descartes

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Folium de Descartes para o parâmetro a=1

Em geometria, o Folium de Descartes é uma curva algébrica definida pela equação

.

A curva faz um laço no primeiro quadrante com um ponto duplo na origem e assíntota

.

A curva é simétrica para .

Seu nome vem do latim folium que significa "folha".

A curva foi representada, juntamente com um retrato de Descartes, em um selo da Albânia em 1966.

História[editar | editar código-fonte]

O folium foi proposto pela primeira vez por Descartes em 1638. A curva tornou-se famosa através de um incidente ocorrido durante o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. Descartes desafiou Fermat a encontrar a reta tangente à referida curva em um ponto arbitrário, uma vez que Fermat acabara de descobrir um método para encontrar retas tangentes. Fermat resolveu o problema facilmente, algo que Descartes foi incapaz de fazer.[1] Desde que o cálculo foi inventado, a inclinação de uma reta tangente pode ser facilmente encontrada através da diferenciação implícita.

Representando a curva graficamente[editar | editar código-fonte]

Uma vez que a equação é de 3º grau tanto em x como em y, e não pode ser fatorada, é difícil resolvê-la para uma das variáveis. No entanto, a equação em coordenadas polares é:

que pode ser plotada com facilidade. Outra técnica é escrever y = px e resolver para x e y em termos de p. Este método origina as equações paramétricas

.

Pode-se notar que o parâmetro p está relacionado com o vetor posição da curva da seguinte forma:

  • p < -1 corresponde ao "braço" inferior direito.
  • -1 < p < 0 corresponde ao "braço" superior esquerdo.
  • p > 0 corresponde ao laço da curva.

Relação com a trissectriz de MacLaurin[editar | editar código-fonte]

O folium de Descartes relaciona-se com a trissectriz de Maclaurin por transformações afins. Para vermos isso, comecemos com a equação

,

E façamos uma mudança de variáveis para encontrar a equação em um sistema de coordenadas girado de 45 graus.

Isto equivale a definir: No plano a equação é

.

Se multiplicarmos a direção por um fator de , temos

que é a equação para a trissectriz de Maclaurin.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. George F. Simmons Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics (2007 MAA) p 101 [1]