No cálculo e em outros ramos da análise matemática, os limites de uma combinação algébrica de funções em uma variável independente podem frequentemente ser avaliados pela substituição dessas funções por seus limites individuais. Se a expressão obtida após esta substituição não fornecer informação suficiente para determinar o limite da combinação, então a expressão é considerada uma forma indeterminada . Mais especificamente, uma forma indeterminada é uma expressão matemática envolvendo
,
e
. É obtida pela aplicação do teorema do limite algébrico no processo de tentativa de determinar um limite, mas que falha em restringir esse limite a um valor específico ou infinito (se um limite é confirmado como infinito, então não é indeterminado, mas sim determinado como infinito) e, portanto, ainda não determina o limite que se busca.[1][2]
Existem sete formas indeterminadas que são normalmente consideradas na literatura:[2]

O exemplo mais comum de uma forma indeterminada ocorre ao determinar o limite da razão de duas funções que tendem a 0 no mesmo ponto, e é referido como "a forma indeterminada
" .Por exemplo, como
se aproximando de
, as proporções
,
, e
tendem a
,
, e
respectivamente. Nos três casos, se os limites do numerador e denominador forem substituídos, a expressão resultante é
, que é indefinido. De uma maneira geral,
pode assumir os valores
,
, ou
, e é fácil construir exemplos semelhantes para os quais o limite é qualquer valor particular.
Então, dado que duas funções
e
ambas se aproximam de
quando
aproxima-se de algum ponto
, esse fato por si só não dá informações suficientes para avaliar o limite

Nem toda expressão algébrica indefinida corresponde a uma forma indeterminada. Por exemplo, a expressão
é indefinido como um número real, mas não corresponde a uma forma indeterminada, pois qualquer limite que se apresente dessa forma irá divergir para o infinito, já que, nos casos em que acontece, o denominador se aproxima de 0, mas nunca é 0.[3]
Uma expressão que surge por outras formas que não a aplicação do teorema do limite algébrico pode ter a mesma aparência de uma forma indeterminada. No entanto, não é apropriado chamar uma expressão de "forma indeterminada" se a expressão for feita fora do contexto de determinação de limites. Por exemplo,
que surge da substituição
para
na equação
não é uma forma indeterminada, uma vez que esta expressão não é feita na determinação de um limite (na verdade é indefinida como divisão por zero ). Outro exemplo é a expressão
. Esta expressão pode ser deixada indefinida ou ser definida como igual
, dependendo do campo de aplicação e do autor. Para mais informações, consulte o artigo Zero à potência de zero . Observe que
e outras expressões envolvendo infinito não são formas indeterminadas .
Fig. 4: y = x − 49√x − 7 (para x = 49)
Fig. 5: y = axx onde a = 2
A forma indeterminada
é encontrada regularmente em cálculo, porque com frequência surge na avaliação de derivadas usando sua definição em termos de limite.
Como acima mencionado,

(see fig. 1)
enquanto

(see fig. 2)
Isso é o suficiente para mostrar que
é uma forma indeterminada. Outros exemplos com esta forma indeterminada incluem

(see fig. 3)
e

(see fig. 4)
A substituição direta do número que
se aproxima em qualquer uma dessas expressões mostra que esses são exemplos correspondem à forma indeterminada
, mas esses limites podem assumir muitos valores diferentes. Qualquer valor desejado
pode ser obtido para esta forma indeterminada da seguinte forma:

(see fig. 5)
O valor que
também pode ser obtido (no sentido de tender ao infinito):

(see fig. 6)
Os limites a seguir ilustram que a expressão
é uma forma indeterminada:

(see fig. 7)

(see fig. 8)
Assim, em geral, sabendo que
e
não é suficiente para avaliar o limite

Se as funções
e
são analíticas em
, e
é positivo para
suficientemente perto (mas não igual) para
, então o limite de
será
.[4] Caso contrário, use a transformação na tabela abaixo para avaliar o limite.
A expressão
não é comumente considerado como uma forma indeterminada, porque não há uma gama infinita de valores que
poderia se aproximar. Especificamente, se
se aproxima de
e
se aproxima de
, então
e
podem ser escolhido para que:
se aproxime de 
se aproxima de 
- O limite não existe.
Em cada caso, o valor absoluto
se aproxima de
, e então o quociente
deve divergir, no sentido dos números reais estendidos (no quadro da linha real projetivamente estendida, o limite é o infinito sem sinal
em todos os três casos [3] ). Da mesma forma, qualquer expressão do formulário
com
(Incluindo
e
) não é uma forma indeterminada, uma vez que o quociente que dá origem a tal expressão sempre diverge.
A expressão
não é uma forma indeterminada. A expressão
, obtida considerando
, dá o limite
, conquanto que
permanece não negativo como
se aproximando de
. A expressão
é equivalente a
; E se
quando
se aproxima de
, o limite sai como
.
Para ver porque, deixe
Onde
e
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados e usando
concluímos que
o que significa que
O adjetivo indeterminado não implica que o limite não exista, como mostram muitos dos exemplos acima. Em muitos casos, a eliminação algébrica, a regra de L'Hôpital ou outros métodos podem ser usados para manipular a expressão de forma que o limite possa ser avaliado.[1]
Quando duas variáveis
e
convergem para zero no mesmo ponto limite e
, eles são chamados de infinitesimais equivalentes (equiv.
)
Além disso, se as variáveis
e
são tais que
e
, então:
Aqui está uma prova rápida:
Suponha que existam dois infinitesimais equivalentes
e
.
Para a avaliação da forma indeterminada
, pode-se fazer uso dos seguintes fatos sobre infinitesimais equivalentes (por exemplo,
se x ficar mais próximo de zero):[5]









Por exemplo:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\\&=-{\frac {1}{6}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77dd026051c68e8a3ae139a8a19259a5ba4ae15)
Na 2ª igualdade,
onde
conforme y se torna mais próximo de 0 é usado, e
onde
é usado na 4ª igualdade, e
é usado na 5ª igualdade.
A regra de L'Hôpital é um método geral para avaliar as formas indeterminadas
e
. Esta regra afirma que, sob condições apropriadas

onde
e
são as derivadas de
e
. (Observe que esta regra não se aplica a expressões
,
, e assim por diante, visto que essas expressões não são formas indeterminadas. ) Essas derivadas permitirão realizar a simplificação algébrica e, eventualmente, avaliar o limite.
A regra de L'Hôpital também pode ser aplicada a outras formas indeterminadas, usando primeiro uma transformação algébrica apropriada. Por exemplo, para avaliar a forma 0 0 :

O lado direito tem a forma
, então a regra de L'Hôpital se aplica a ele. Observe que essa equação é válida (desde que o lado direito seja definido) porque o logaritmo natural (ln) é uma função contínua ; é irrelevante o quão bem comportado
e
pode (ou não) ser tão longo quanto
é assintoticamente positivo. (o domínio dos logaritmos é o conjunto de todos os números reais positivos. )
Embora a regra de L'Hôpital se aplique a ambos
e
, uma dessas formas pode ser mais útil do que a outra em um caso particular (devido à possibilidade de simplificação algébrica posteriormente). Pode-se mudar entre essas formas, se necessário, transformando
para
.
A tabela a seguir lista as formas indeterminadas mais comuns e as transformações para a aplicação da regra de l'Hôpital.
Forma indeterminada
|
Condições
|
Transformação para
|
Transformação para
|
00
|
|
—
|
|

|
|
|
—
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Referências