Forma quadrática definida

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Em matemática, uma forma quadrática definida é uma forma quadrática sobre algum espaço vetorial real V que possui o mesmo sinal (sempre positivo ou sempre negativo) para cada vetor não nulo de V. De acordo com esse sinal, a forma quadrática é chamada positiva-definida ou negativa-definida.

A forma quadrática semi-definida é definida da mesma forma, exceto que "positivo" e "negativo" são substituídos por "não negativo" e "não positivo", respectivamente. Uma forma quadrática indefinida é aquele que tem tanto valores positivos como negativos.

Em termos mais gerais, a definição aplica-se a um espaço vetorial sobre um corpo ordenado.[1]

Forma bilinear simétrica associada[editar | editar código-fonte]

Formas quadráticas correspondem uma-a-uma a formas bilineares simétricas sobre o mesmo espaço.[nota 1] Uma forma bilinear simétrica é também descrita como definida, semidefinida, etc, segundo sua forma quadrática associada. Uma forma quadrática Q e sua forma bilinear simétrica associada B são relacionadas pelas seguintes equações:

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Como exemplo, façamos , e consideremos a forma quadrática

onde x = (x1, x2) , c1 e c2 são constantes. Se c1 > 0 e c2 > 0, a forma quadrática Q é positivo definida. Se uma das constantes é positiva e a outra é zero, então Q é positivo semidefinida. Se c1 > 0 e c2 < 0, então Q é indefinida.

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Isto é verdade somente sobre um corpo de características diversas que 2, mas aqui nós consideramos somente corpos ordenados, os quais tem necessariamente característica 0.

Referências

  1. Milnor & Husemoller (1973) p.61