Forma quadrática definida
Em matemática, uma forma quadrática definida é uma forma quadrática sobre algum espaço vetorial real V que possui o mesmo sinal (sempre positivo ou sempre negativo) para cada vetor não nulo de V. De acordo com esse sinal, a forma quadrática é chamada positiva-definida ou negativa-definida.
A forma quadrática semi-definida é definida da mesma forma, exceto que "positivo" e "negativo" são substituídos por "não negativo" e "não positivo", respectivamente. Uma forma quadrática indefinida é aquele que tem tanto valores positivos como negativos.
Em termos mais gerais, a definição aplica-se a um espaço vetorial sobre um corpo ordenado.[1]
Forma bilinear simétrica associada
[editar | editar código-fonte]Formas quadráticas correspondem uma-a-uma a formas bilineares simétricas sobre o mesmo espaço.[nota 1] Uma forma bilinear simétrica é também descrita como definida, semidefinida, etc, segundo sua forma quadrática associada. Uma forma quadrática Q e sua forma bilinear simétrica associada B são relacionadas pelas seguintes equações:
Exemplo
[editar | editar código-fonte]Como exemplo, façamos , e consideremos a forma quadrática
onde x = (x1, x2) , c1 e c2 são constantes. Se c1 > 0 e c2 > 0, a forma quadrática Q é positivo definida. Se uma das constantes é positiva e a outra é zero, então Q é positivo semidefinida. Se c1 > 0 e c2 < 0, então Q é indefinida.
Notas
[editar | editar código-fonte]- ↑ Isto é verdade somente sobre um corpo de características diversas que 2, mas aqui nós consideramos somente corpos ordenados, os quais tem necessariamente característica 0.
Referências
- ↑ Milnor & Husemoller (1973) p.61
- Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Arithmetic of quadratic forms. Col: Cambridge Tracts in Mathematics. 106. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021
- Lang, Serge (2004), Algebra, ISBN 978-0-387-95385-4, Graduate Texts in Mathematics, 211 Corrected fourth printing, revised third ed. , New York: Springer-Verlag, p. 578
- Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Col: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016