Fração contínua

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Text document with red question mark.svg
Este artigo ou secção contém fontes no fim do texto, mas que não são citadas no corpo do artigo, o que compromete a confiabilidade das informações. (desde fevereiro de 2011)
Por favor, melhore este artigo introduzindo notas de rodapé citando as fontes, inserindo-as no corpo do texto quando necessário.

Um número pode ser representado de várias maneiras. Por exemplo, o número 0,5 também pode ser escrito na forma , bem como . A escolha da melhor representação irá depender de como o número será utilizado ou de quais operações serão realizadas.

Uma fração continuada, também chamada fração contínua é uma forma importante de representar números reais. Em geral, uma fração continuada é uma expressão da forma , em que o primeiro termo, , é um número inteiro e os demais números são números inteiros positivos.

Frações Continuadas Simples[editar | editar código-fonte]

Frações continuadas simples são expressões da forma , em que todos os números são iguais a 1. Uma expressão da forma é uma fração continuada simples finita. Tais expressões podem ser denotadas respectivamente por e . Observe que o termo é separado por ponto e vírgula para evidenciar a parte inteira do número representado.

Exemplos:

Neste último exemplo, note que -4 é o maior inteiro que é menor do que -18/5.

Frações continuadas têm muitas propriedades relacionadas ao Algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo divisor comum (MDC) entre dois números inteiros.

Vejamos um exemplo mais detalhado: a representação do número na forma de fração continuada.

Usando-se o algoritmo da divisão, obtém-se . Logo, .

A fração ao lado direito da expressão anterior é uma fração própria e tem numerador diferente de 1. É possível escrevê-la na forma . Com isso, obtém-se a expressão .

A divisão de 77 por 36 resulta no quociente 2 e resto 5. Logo, .

Procedendo-se dessa forma até que a última fração tenha numerador igual a 1, chega-se ao seguinte resultado: [1].

Observa-se que não há como ir além desse resultado pois, ao se escrever a última fração na forma , chega-se à divisão de 5 por 1 cujo resto é igual a 0. Portanto o cálculo termina. Assim, a representação do número na forma de fração continuada é finita e pode ser escrita de forma abreviada como [4; 2, 7, 5].

É interessante observar que a representação decimal do número é infinita, a saber, a dízima periódica 4,4675324675324... enquanto que a representação na forma de fração continuada é finita.

É fácil perceber que toda fração continuada finita representa um número racional. Reciprocamente, todo número racional pode ser escrito na forma de uma fração continuada finita.

Portanto, toda fração continuada infinita é uma representação de um número irracional.

Frações Continuadas Simples Infinitas[editar | editar código-fonte]

É conveniente denotar repetições periódicas da forma por .

Exemplo. Vamos verificar que . De fato, como , podemos escrever,

Também são verdadeiras as igualdades . Pode-se concluir que

A aplicação sucessiva da última igualdade no denominador da fração obtida anteriormente, leva à seguinte expressão:

O processo acima necessita de alguma verificação mais rigorosa, já que, por ser um processo infinito, não é garantido que o limite criado no lado direito da igualdade existe.

É interessante observar que, se conhecêssemos apenas o lado direito da expressão acima e soubéssemos que o limite existe, poderíamos escrever:

Como é um número positivo, concluímos que .

Os exemplos acima devem motivar a estudar melhor a existência dos limites necessários para se concluir os resultados e garantir que as igualdades acima estão corretas.

Frações Parciais[editar | editar código-fonte]

Se , chamamos de convergentes ou frações parciais a sequência de números racionais dados por:

,

ou seja,

A existência do limite da sequência das frações parciais deve ser estudada e estabelecida para que se possa garantir a veracidade das afirmações que envolvem frações continuadas infinitas.

Alguns exemplos:

  • O número de ouro, dado por pode ser escrito como a seguinte fração continuada infinita e periódica: .

Os convergentes do número de ouro são É interessante observar que tanto os numeradores quanto os denominadores das frações parciais do número de ouro formam a sequência de Fibonacci

Contribuições Importantes[editar | editar código-fonte]

Citamos a seguir alguns matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento deste assunto.

  • Rafael Bombelli (1526 - 1572) sabia (embora não com a notação usada hoje) que

, que foi uma descoberta muito importante para a história do número .

  • Leonhard Euler (1707 - 1783) escreveu o primeiro texto abrangente em que

explicava propriedades de frações continuadas. Euler demonstrou que os racionais são escritos como frações continuadas finitas e provou que a representação dos irracionais na forma de fração continuada é infinita.

É interessante saber que o número , definido por cujo valor aproximado é 2,718281... se escreve como

  • Johann Heinrich Lambert (1728 – 1777) escreveu a primeira demonstração de que o número é irracional, usando frações continuadas para calcular da forma

Lambert usou essa expressão para concluir que se é um número racional não nulo, então não pode ser um número racional. Sendo assim, como , então não pode ser racional.

Exemplos de frações contínuas[editar | editar código-fonte]

Alguns exemplos de frações contínuas:





Referências[editar | editar código-fonte]

  • COURANT, R., ROBBINS, H. , O que é matemática: uma abordagem elementar de métodos e conceitos, Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 2000.
  • DUNE, E., MCCONNELL, M. , Pianos and Continued Fractions, Mathematics magazine, Vol. 72, no. 2, 1999, 104-115.
  • OLDS, C. D., Continued Fractions, Mathematical Association of America, v. 9, Nova Iorque, 1963.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.
  1. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-22.