Frações parciais

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Frações parciais é uma recurso matemático muito utilizado na simplificação de problemas envolvendo integrais e transformadas de Laplace.

Dada uma função R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} temos:

1) Decomposição de fator linear x-a com multiplicidade n.

R(x)=\frac{P(x)}{(x-a)^n}=\frac{A_1}{(x-a)}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+...+\frac{A_n}{(x-a)^n}[1]

Exemplo:

{\textstyle R(x)= \left ( \frac{x+1}{x*(x+2)^2} \right )= \left ( \frac{A}{x} \right )+\left ( \frac{B}{x+2} \right )+\left ( \frac{C}{x+2} \right )}

Decompomos o denominador acima no maior número de frações possíveis.

=\left ( \frac{A(x + 2)2 + Bx(x + 2) + Cx}{x(x+2)^2} \right )

A fim de criar um sistema envolvendo os coeficientes e o numerador original, reagrupamos os termos.

\begin{cases} A+B=0  \\ 4A +2B + C=1 \\ 4A=1 \end{cases}

Resolvendo o sistema, temos que A= 1/4 B= -1/2 e C= 1/2

Portanto a nova fração é dada por:

{\textstyle  \left ( \frac{1}{4x} \right )-\left ( \frac{1}{4(x+2)} \right )+\left ( \frac{1}{2(x+2)} \right )}[2]

2) Decomposição de um fator quadrático irredutível (x-a)^2+b^2 com multiplicidade n:

R(x)=\frac{P(x)}{[(x-a)^2+b^2]^n}=\frac{A_1*x+B_1}{[(x-a)^2+b^2]}+\frac{A_2*x+B_2}{[(x-a)^2+b^2]^2}+...+\frac{A_n*x+B_n}{[(x-a)^2+b^2]^n}

3) Podemos também decompor frações em denominadores simples, primos e irredutíveis:

Exemplo:

\left ( \frac{1}{18} \right )=\left ( \frac{1}{2} \right )-\left ( \frac{1}{3} \right )-\left ( \frac{1}{3^2} \right )
[3]

4) Outra técnica utilizada é a técnica dos limites ou método de heaviside:

Exemplo:

R(x)= \left ( \frac{x^2+3x-4}{(x+3)(x+2)(x-2)} \right )

Podemos reescrever a fração como;

\left ( \frac{A}{x+3} \right )+\left ( \frac{B}{x-2} \right )+\left ( \frac{C}{x+2} \right )

Agora usamos os limites para determinar os coeficientes.

A=\lim_{x \to -3}=\left ( \frac{x^2+3x-4}{(x-2)(x+2)} \right )=\left ( \frac{9-9-4}{(-5)(-1)} \right )=-\left ( \frac{4}{5} \right )

B=\lim_{x \to 2}=\left ( \frac{x^2+3x-4}{(x+3)(x+2)} \right )=\left ( \frac{4+6-4}{(5)(4)} \right )=\left ( \frac{3}{10} \right )

C=\lim_{x \to -2}=\left ( \frac{x^2+3x-4}{(x+3)(x-2)} \right )=\left ( \frac{4-6-4}{(1)(-4)} \right )=\left ( \frac{3}{2} \right )

Logo a nova expressão é dada por:

-\left ( \frac{4}{5(x+3)} \right )+\left ( \frac{3}{10(x-2)} \right )+\left ( \frac{3}{2(x+2)} \right )
[4]

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  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-22. 
  2. «Exemplo de Matemática Aplicada II UFRGS» (PDF). Esequia Sauter - UFRGS – INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada. 
  3. «Fractions of integers - Wikipedia». 
  4. «Exemplo de Matemática Aplicada II UFRGS» (PDF). Esequia Sauter - UFRGS – INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada.