Função afim

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Disambig grey.svg Nota: Não confundir com Função linear, ou Transformação linear.
Esquema explicativo de uma função afim.
Exemplo de uma função afim.

Uma função afim, também conhecida como função polinomial de grau 1 ou função polinomial de primeiro grau é uma função do tipo cujo gráfico é uma reta não perpendicular ao eixo Tal função também pode ser entendida como uma transformação linear () seguida por uma translação ().

no caso finito-dimensional cada função afim é dada por uma matriz A e por um vetor B, que possam ser escritos como a matriz A com uma 'coluna extra do B. Fisicamente, uma função afim é a que preserva:

  1. Colinearidade entre pontos, isto é, três pontos que se encontram em uma linha continuam a ser colineares após a transformação;
  2. relações das distâncias ao longo de uma linha, isto é, para os pontos colineares distintos ,

Uma função afim é composta de um ou de diversos transformadores lineares. Diversas transformações lineares podem ser combinadas em uma única matriz, assim que a fórmula geral dada acima é ainda aplicável.

Em uma dimensão (ou seja, quando x e y são escalares), os termos A e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e coeficiente linear.


 Definição formal[editar | editar código-fonte]

Uma função chama-se função afim quando existe dois números reais e tal que e para todo [1]

Coeficientes[2][editar | editar código-fonte]

Para facilitar a análise dessas funções, dizemos que o coeficiente "a" da função é o coeficiente angular ou declividade da reta. Esse coeficiente determina a inclinação da reta que representa a função.

O coeficiente "b" determina o deslocamento da reta em relação à origem, por isso ele é conhecido como coeficiente linear da reta.

Esboço do gráfico da função f(x)=2x, um exemplo de função linear

Função linear[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Função linear

Uma função linear é um caso particular da função afim onde e sendo, portanto, expressa como:

Veja na figura ao lado um exemplo de gráfico de função linear.

Um caso específico da função linear é a função identidade, onde Logo a função identidade é expressa como:

Observe na figura ao lado um exemplo de gráfico de função identidade.

Função linear e proporcionalidade[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Proporcionalidade
Esboço do gráfico da função f(x)=x, a função identidade

Uma das principais aplicações da função linear é a relação de proporção existente entre os elementos do domínio e da imagem, pois observamos que conforme variam os elementos do domínio, suas respectivas imagens variam na mesma proporção, sendo essa proporção o coeficiente angular da função, nesse caso chamado de taxa de variação.

Assim, seja a função linear vemos que o conjunto dos pontos que representa a reta dessa função são os pontos do tipo onde é a razão entre e [3]

Essa relação será diretamente proporcional se a função for crescente e inversamente proporcional se a função for decrescente.

Crescimento ou decrescimento[editar | editar código-fonte]

Uma função afim pode ser crescente, decrescente ou constante, dependendo do valor do coeficiente angular.

Crescente[editar | editar código-fonte]

Uma função afim é crescente quando seu coeficiente angular for positivo, ou seja,

Esboço do gráfico da função f(x)=2x+1, um exemplo de função afim crescente

Demonstração: [4]

Por definição, dizemos que uma função definida por é crescente no conjunto se, para dois valores quaisquer e pertencentes a com tivermos

Sintetizando: é crescente quanto:

Podemos reescrever isso como:

Então, dada a função afim dizemos que é crescente se, e somente se:

Assim, podemos reescrever:

Decrescente[editar | editar código-fonte]

Esboço do gráfico da função afim f(x)=-2x+1, um exemplo de função afim decrescente.

Uma função afim é decrescente quando seu coeficiente angular for negativo,ou seja,

Demonstração:[4]

De forma similar à função crescente, uma função é decrescente se obedecer à seguinte restrição:

Que é equivalente a dizer:

Então, dada a função afim dizemos que é decrescente quando:

Reescrevendo isso, temos:

Esboço do gráfico da função f(x)=2, um exemplo de função constante

Constante[editar | editar código-fonte]

Uma função é constante (neste caso dizemos que ela não é afim) quando seu coeficiente angular for nulo, ou seja Nesse caso a equação que define a função é dada por e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo

Zero[editar | editar código-fonte]

O zero de uma função afim (ou raízes da função) é o valor de para o qual a função é igual a zero. Geometricamente o zero de uma função afim é o ponto de corte no eixo das abcissas.

Para definir este ponto basta resolver a equação

Pontos de corte com os eixos em uma função afim

Logo o ponto de corte no eixo das abcissas é

Toda e qualquer função afim também corta o eixo das ordenadas (eixo ). Para definir este ponto de corte basta calcular

Logo o ponto de corte no eixo y é

Aplicações[editar | editar código-fonte]

As funções afins possuem diversas aplicações, em situações que apresentam crescimento ou decrescimento linear.

 Relação com a progressão aritmética[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Progressão aritmética

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante.[5]

Logo, por ter essa característica, vemos que o crescimento de uma P.A é linear e pode, portanto, ser representado por uma função afim.

Para chegar até a função afim de uma P.A. partiremos da fórmula do termo geral, que é:

Como buscamos conhecer um termo em função da sua posição em uma P.A., podemos reescrever a fórmula como:

[6]

Temos, aplicando a propriedade distributiva e organizando os termos:

Esboço do gráfico da função

onde:

é a variável dependente; é a variável independente; é o coeficiente angular; é o coeficiente linear.

O domínio dessa função é o conjunto dos números naturais não nulos e a imagem é o conjunto dos números inteiros.

Exemplo:

Seja a progressão aritmética infinita vamos verificar se seus termos são definidos pela fórmula

Temos que e

Logo, a lei da função é:

Observe ao lado o gráfico da função   

 Relação com o movimento retilíneo uniforme[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Movimento retilíneo uniforme

Situações que envolvem movimento em linha reta e com velocidade fixa podem ser estudadas utilizando funções afins. Para isso é preciso analisar a posição do objeto que se movimenta em função do tempo.

A física define a velocidade de um objeto como a razão entre a variação da distância pela variação do tempo, como observamos na fórmula abaixo:

,[7]

onde:

é a distância final; é a distância inicial; a distância final e a distância inicial.

Podemos simplificar a expressão, pois na maioria dos casos temos como ponto de partida um tempo inicial nulo,

Logo é possível modificar a expressão utilizando algebrismos para encontrar uma função afim de posição em função do tempo.

Podemos reescrever de modo a obter

Por fim basta renomear os termos para melhorar a lei da função. Assim dissemos que e

Logo a lei da função posição é:

,[8]

onde:

  • é a posição após o tempo        
  • é a velocidade e o coeficiente angular da função;        
  • é o tempo que dura o deslocamento;        
  • é a posição inicial e também o coeficiente linear da função.        

Referências

  1. «Só Matemática, Função de Primeiro Grau». www.somatematica.com.br. Consultado em 29 de outubro de 2015 
  2. Dante, Luiz Roberto (2005). Matemática, volume único. São Paulo: Ática. ISBN 9788508098019 
  3. [1]
  4. a b Iezzi;, Gelson;; Murakami, Calor (2004). Fundamentos de Matemática Elementar 1, conjuntos, funções. [S.l.: s.n.] ISBN 978-85-357-0455-6 
  5. Iezzi, Gelson; Hazzan, Samuel (2004). Fundamentos de Matemática Elementar 4. Sequências, matrizes, determinantes, sistemas. São Paulo: [s.n.] ISBN 9788535704587 
  6. «Progressão Aritmética». InfoEscola. plus.google.com/+infoescola/. Consultado em 12 de novembro de 2015 
  7. «Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) - Física». InfoEscola. plus.google.com/+infoescola/. Consultado em 12 de novembro de 2015 
  8. Dante, Luiz Roberto (2010). Matemática: Contexto e aplicações. [S.l.: s.n.] ISBN 9788508113002 

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar,1: conjuntos, funções. 8. ed. São Paulo: Atual, 2004.