Função de Conway em base 13

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A Função de Conway em base 13 é uma função criada pelo matemático britânico John H. Conway como um contraexemplo para a recíproca do teorema do valor intermediário. Em outras palavras, apesar de a função f de Conway não ser contínua, se f(a) < f(b) e for escolhido um valor arbitrário x tal que f(a) < x < f(b), sempre é possível encontrar algum ponto c entre a e b, tal que f(c) = x. Na verdade, esta função satisfaz algo ainda mais forte do que isso: ela assume cada valor real, em cada intervalo da reta real.

A função de Conway em base 13[editar | editar código-fonte]

Propósito[editar | editar código-fonte]

A função de Conway em base 13 foi criada como parte de uma atividade de "produção": neste caso, o desafio era produzir uma função simples de entender que assumisse todos os valores reais em cada intervalo. Com isso, a função é descontínua em todos os pontos.

Definição[editar | editar código-fonte]

A função de Conway em base 13 é uma função definida como segue. Escreva o valor do argumento como um tridecimal (um "decimal" na base 13) usando 13 símbolos como 'dígitos': 0, 1, ..., 9, A, B, C; não deve haver uma dízima periódica formada pela letra C no final da representação. Pode haver um sinal à esquerda, e em algum lugar haverá um ponto tridecimal para separar a parte inteira da parte fracionária; estes devem ser ignorados na sequência. Estes "dígitos" pode ser pensados como tendo valores de 0 a 12, respectivamente; originalmente Conway utilizou os dígitos "+", "-" e "." em vez de A, B, C.

  • Se a partir de algum ponto, a expansão tridecimal de estiver na forma em que todos os dígitos e estão em então na notação usual da base 10.
  • De modo similar, se a expansão tridecimal de termina com então
  • Caso contrário,

Por exemplo,

e

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A função definida desta forma satisfaz a conclusão do teorema do valor intermediário, mas não é contínua em lugar algum. Isto é, em qualquer intervalo fechado da reta real, assume todos os valores entre e Mais do que isso, assume todos os valores reais em algum lugar dentro de cada intervalo aberto

Para provar isso, seja e considere um número real qualquer Então pode ter a parte à direita de sua representação tridecimal modificada para ser ou dependendo do sinal de (substituindo o ponto decimal com um ), produzindo um novo número Introduzindo esta modificação suficientemente longe ao longo da representação tridecimal de o novo número ainda estará no intervalo e verificará

Assim, satisfaz uma propriedade mais forte do que a conclusão do teorema do valor intermediário. Além disso, se fosse contínua em algum ponto, seria localmente limitada neste ponto, o que não é o caso. Assim, é um verdadeiro contra-exemplo para a recíproca do teorema do valor intermediário.

Referências[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]