Função de partição (matemática)

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Diagramas de Young mostrando o número de partições dos interos de 1 a 8. Usam-se diferentes cores para cada inteiro. Exemplo, em verde observa-se que existem 5 partições para 4.

Em Teoria dos números, partição de um inteiro positivo n é uma forma de decomposição de n como soma de interos positivos. Duas somas são consideradas iguais se e somente se possuem o mesmos numero de parcelas e as mesmas parcelas, mesmo que em ordem diferente.

Rigorosamente uma partição de um inteiro positivo n é uma sequência de inteiros positivos tais que

. [1]

As possíveis partições de um inteiro n podem ser visualizadas melhor com o uso dos chamados diagramas de Ferrers ou diagramas de Young.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

As cinco partições de 4 são:

4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1

E as onze partições de 6 são:

6 = 5 + 1 = 4 +2 = 4 + 1 + 1 = 3 + 3 = 3 + 2 + 1 =
= 3 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1

Função de partição[editar | editar código-fonte]

A função de partição p(n) representa o número p de possíveis partições de um número inteiro positivo n; assim, p(4) = 5 e p(6) = 11. Por conveniência, define-se p(0) = 1, (compreensível se for pensado que 0 só se escreve apenas como ele mesmo uma única vez, semelhante a 1) p(n) = 0 para valores de n negativos. Os valores desta função formam a (sequência A000041 na OEIS).

Os valores de p(n) possuem um crescimento muito elevado em relação ao valor de n:

  • p(100) = 190,569,292
  • p(200) = 3,972,999,029,388
  • p(1000) = 24,061,467,864,032,622,473,692,149,727,991 ≈ 2.4 × 1031

Uma expressão assintótica de p(n) foi obtida por Godfrey Harold Hardy e S. Ramanujan em 1918, de forma independente por James Victor Uspensky en 1920:

Ken Ono[2] encontrou em 2010 uma fórmula exata.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. *Tom M. Apostol. Introducción a la teoría analítica de números. Reverté, 1984. ISBN 84-291-5006-4, 9788429150063. p. 382
  2. Página pessoal acessada em maio de 2014.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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