Função exponencial integral

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Na matemática, a função exponencial integral é definida como[1]

\mbox{Ei}(x)=\int_{-x}^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt.

Como \tfrac1t diverge em t=0, esta integral deve ser interpretada no sentido do valor principal de Cauchy quando x\geq 0\,.[carece de fontes?]

Esta função, assim como as funções seno e cosseno integral, respectivamente:

\mbox{Si}(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt. e
\mbox{Ci}(x)=\int_{\infty}^{x} \frac{\cos t}{t}\,\mathrm dt. [Nota 1]

foi usada por Schölmilch para expressar os valores de várias integrais mais complicadas. A função exponencial integral se relaciona com a função logaritmo integral através de:[1]

\mbox{Ei}(x) = \mbox{li} \ e^x\,

As primeiras tábuas das funções Si(x), Ci(x), Ei(x) e Ei(-x) foram calculadas por Bretschneider e publicadas em 1806 no terceiro volume do livro Archiv der Mathematik und Physik, por Grunert, e incluía os valores destas funções para x = 1, 2, ... 10. Soldner publicou, em 1806 em Munique, os valores da função logaritmo integral para os mesmos valores.[1]

O trabalho de Glaisher continha os valores destas funções para x variando de 0 a 1, com intervalos de 0,01, e com dezenove casas decimais de precisão. Para x variando de 1 a 5, com passos de 0,1, e para os valores inteiros de x de 5 a 15, a tabela tinha precisão de dez casas, e para x = 20, precisão de vinte casas.[1]

Notas e referências

Notas

  1. Esta é uma das várias formas alternativas como esta função é definida.

Referências

  1. a b c d J. W. L. Glaisher, Tables of the Numerical Values of the Sine-integral, Cosine-integral, and Exponential-integral, recebido em 10 de fevereiro de 1870, Taylor & Francis, Proceedings of the Royal Society of London, Volume 18 (1870), p.262 [google books]