Função gama

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A função gama[4] nos números reais.

Em matemática, a função gama (representada pela letra maiúscula grega \Gamma) é uma extensão da função factorial para o conjunto dos números reais e complexos, com o argumento subtraído em 1. Se n é um inteiro positivo define-se da seguinte forma:

\Gamma(1+n)=n!

Esta função é estendida por uma continuação analítica (ou extensão analítica) para todos números complexos com, não estando definida apenas nos inteiros não-positivos (em que a função tem polos simples). Portanto, para números complexos com a parte real positiva a definição segue por uma integral imprópria convergente:

\Gamma(t)=\int_0^\infty x^{t-1}e^{-x}dx

Podemos encontrar a demonstração da convergência desta integral no artigo de Emil Artin, The Gamma Function.

A função gama é debutante em diversas funções de distribuição probabilísticas, sendo assim encontra aplicações nos campos da probabilidade, estatística e combinatória.

Motivação[editar | editar código-fonte]

A função gama pode ser vista como solução do seguinte problema de interpolação:

"Encontrar uma curva suave que conecta os pontos (x , y) dados por y = (x − 1)! em que x é um inteiro positivo."

Esboçando em um gráfico os primeiros números fatoriais fica claro que a curva pode ser desenhada, mas seria preferível ter um expressão analítica que descreve precisamente a curva, na qual o número de operações não dependa do tamanho  de x. A simples fórmula recursiva para o fatorial x! = x × ... × 2 × 1,  não pode ser usada para obter valores fracionários, pois é válida apenas quando x é um número natural. No entanto, foi demonstrado por Euler que não há uma expressão analítica convencional para fatorial, no sentido que não pode ser a combinação finita (com um número finito de termos) de somas, potências, produtos, funções exponenciais e logaritmos, demonstrado em seu artigo intitulado "Sobre progressões transcendentais, nas quais o termo geral não pode ser expresso algebricamente", ("De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt"). A função gama é uma solução que não só resolve este problema, mas também possuí distinguíveis propriedades entre as candidatas, como é mostrado no Teorema de Bohr-Mollerup.

Prova[editar | editar código-fonte]

É fácil perceber, através da regra da cadeia e de recursos da integração imprópria, que

\int_0^\infty e^{-r}\,dr=\left.-e^{-r}\right\vert _0^\infty=1

Usando o método da substituição, de modo que r=st, dr=tds, (t>0 e fixo), obtém-se:

\int_0^\infty e^{-st}\,ds=\frac{1}{t}, t>0

Derivando-se em relação a t e aplicando a fórmula de Leibniz:

\int_0^\infty se^{-st}\,ds=\frac{1}{t^2}, t>0

Utilizando o mesmo processo novamente:

\int_0^\infty s^2e^{-st}\,ds=\frac{1.2}{t^3}, t>0

Derivando sucessivas vezes em relação a t:

\int_0^\infty s^{n}e^{-st}\,ds=\frac{n!}{t^{n+1}}, t>0

Para t=1

\int_0^\infty s^{n}e^{-s}\,ds=n!

Dessa forma, tem-se uma função fatorial definida para quaisquer valores reais positivos x, de modo que:

g(x)=\int_0^\infty e^{-s}s^{x}\,ds=x!

Contudo, consagrou-se o uso de uma definição levemente destoante, a Função Gama de Euler, tal que

\Gamma(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}\,dt

Assim,

\Gamma(x)=g(x-1)

E, analogamente, para números inteiros,

\Gamma(n)=(n-1)!

Funções relacionadas[editar | editar código-fonte]

 \Gamma(a,x) = \int_x^{\infty} t^{a-1}\,e^{-t}\,dt .
 \gamma(a,x) = \int_0^x t^{a-1}\,e^{-t}\,dt .
\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.
  • A função beta, também chamada de Integral de Euler de primeiro tipo, pode ser definida por uma razão de funções gama:
\Beta(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Propriedade Fundamental[editar | editar código-fonte]

A propriedade mais importante da função gama é dada por

\Gamma(z + 1)=z\Gamma(z)

Que pode ser obtida pela integração por partes da definição da função gama

\Gamma(z + 1)=\left.-e^{-t}t^{z}\right\vert _0^\infty + z\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt

O lado esquerdo do resultado é igual a zero. A integral do lado direito do resultado é a própria definição da função gama.
Segue desta propriedade que

\Gamma(z)=(z - 1)\Gamma(z - 1)

E também

\Gamma(z + 1)=z(z - 1)(z - 2)...

Para números inteiros, a recursividade da propriedade cai na definição do fatorial.
Esta propriedade é válida também para números no domínio dos complexos.

Domínio da Função Gama[editar | editar código-fonte]

  • A integral que define a Função Gama converge para todo
x>0
  • Assim um intervalo de definição da Função é:
\Gamma(x): (0,{\infty})
  • Prova

Escrevendo A função como:

\int_{0}^{1}t^{x-1}e^{-x}dt + \int_{1}^{\infty}t^{x-1}e^{-x}dt

A Segunda integral converge muito rápido pelo fator e^{-t} que tende a zero quando t tende a infinito, neutralizando qualquer crescimento que o termo t^{x-1} apresente. Na primeira integral para 0<t<1 a função e^{-t} fica controlada. Logo a convergência dessa integral vai depender apenas do termo t^{x-1}.

  • Para  x>0
\int_{0}^{1}t^{x-1}dt=\frac{1^x}{x}-0=\frac{1}{x}<{\infty}
  • Para x=0
\int_{0}^{1}t^{-1}dt=ln{1}-ln{0}={\infty}
  • Para  x<0 temos que x-1<-1, então:
\int_{0}^{1}t^{x-1}dt>\int_{0}^{1}t^{-1}dt={\infty}

Pela propriedade fundamental, pode-se estender o domínio da função gama em intervalos que contém números negativos. Define-se então que

hhhh
\Gamma(z)=\frac{\Gamma(z + 1)}{z}

Para números no intervalo z ∈ (-1, 0), como z < 0, vê-se que

\Gamma(z)<0

E também que

\lim_{z\to 0^-} \Gamma(z) = \lim_{z\to 1^+} \Gamma(z) = -\infty

Continuando com o mesmo processo, o domínio da função gama passa a ser

\mathbb{R}\, - {0, -1, -2, -3, ...}

Um resultado de interesse em algumas aplicações calculado pela Função é \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}

  • Demonstração
\Gamma(\frac{1}{2})=\int_{0}^{\infty}t^{-(\frac{1}{2})}e^{-t}dt

Fazendo t=r^{2}, obtemos dt=2rdr logo:

\int_{0}^{\infty}t^{-(\frac{1}{2})}e^{-t}dt=2\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}dr

Utilizando a técnica de Liouville:

I=\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx
I^2=\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx\int_{0}^{\infty}e^{-y^2}dy=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dx dy

A última integral é uma integral dupla facilmente calculada em coordenadas polares:

I^2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdr d{\theta}=\frac{\pi}{4}
Utilizando uma troca de variáveis é fácil chegar ao resultado.
I^2=\frac{\pi}{4}
I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
2\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}dr=2\frac{\sqrt{\pi}}{2}=\sqrt{\pi}

Sendo assim:

\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Boyce e DiPrima. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, editora LTC, 9ª edição, 2010.
  2. Dennis G. Zill, Michael R. Cullen; Equações Diferenciais, vol 1; Editora Makron Books do Brasil;
  3. Davis, Philip J.; Abramowitz, Milton; Stegun, Irene. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 1972.
  4. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-19. 
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