Função harmônica

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Função harmônica, estritamente em Matemática, é qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas. Aplica-se em vários sub-domínios da própria matemática, além de encontrar imensa e rica utilidade na física matemática, na física, em análise de processos estocásticos, entre várias aplicações.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Função harmônica, em Matemática, em Física, em Física matemática e em Processos estocásticos, é uma função contínua e duplamente diferenciável f : UR (onde U é um subconjunto aberto de Rn) que satisfaz a equação de Laplace, e pode ser assim expressa:

em todo lugar em U. Isso é também frequentemente escrito como

ou
onde: é o operador laplaciano e é o operator Laplace-de Rham

Alternativamente, função harmônica pode ser definida de outros modos:

  • Função harmônica, em Matemática, também pode ser entendida como qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas.
  • Há também uma outra definição aparentemente mais frágil, contudo equivalente. Realmente, uma função é dita harmônica se e somente se é fracamente harmônica — e a aparente fragilidade conceitual decorre apenas da recorrência.

Funções harmônicas podem ser definidas num espaço riemanniano múltiplo, por meio do uso do operator Laplace-de Rham,

Nesse contexto, uma função é dita harmônica se

Uma função que satisfaz é dita subarmônica.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Fórmula do Valor Médio[editar | editar código-fonte]

Seja uma função harmônica, aberto. Então, para cada , temos:

onde, é o volume da bola unitária em , é a bola de centro em e raio e denota sua fronteira (a esfera de centro e raio ). Isto é, se é harmônica, então é igual a sua média sobre qualquer esfera de centro e raio contida no seu domínio (veja, por exemplo, Evans (2010)[1]).

Demonstração.

Com efeito, seja

.

Fazendo a mudança de variável , temos

.

Agora, calculando a derivada de em relação a , obtemos:

que, voltando a nos dá:

observando que é a normal unitária exterior para cada . Aqui, denota a derivada normal de .

Daí, das identidades de Green, temos que:

pois, é harmônica por hipótese. Mostramos, assim, que para todo , logo é uma função constante e, portanto:

este último passo sendo uma propriedade da média de uma função. Temos, assim, demonstrado o que queríamos.

Como consequência do resultado acima, podemos demonstrar que:

isto é: se é harmônica, então é igual a média de sobre qualquer bola de centro e raio contida em seu domínio.

Demonstração.

Com efeito:

.

o que demonstra o enunciado.

Esse resultado também tem uma recíproca. Se é tal que

então, é harmônica. Em outras palavras, uma função duas vezes continuamente diferenciável cuja média sobre cada esfera contida em seu domínio é igual a função aplicada no centro da mesma é uma função harmônica.

Demonstração.

Assumimos, sem perda de generalidade, que em alguma bola Definindo

temos que é constante em relação a , logo Por outro lado:

o que é uma contradição.

Princípio do Máximo[editar | editar código-fonte]

Uma função harmônica atinge seu máximo (mínimo) na fronteira. Mais precisamente, se é uma função harmônica com , então , bem como . Aqui, é um conjunto aberto, é o fecho de .

Esta propriedade é consequência do princípio do máximo forte[1], o qual estabelece que se, além das hipóteses acima, for conexo e existir tal que , então é constante em . Esta propriedade é, por sua vez, consequência direta da fórmula do valor médio (veja acima).

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b Evans, Lawrence (2010). Partial Differential Equations 2 ed. American Mathematical Society [S.l.] ISBN 978-0821849743. 
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