Função limitada

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Em matemática, uma função é dita limitada se sua imagem é um conjunto limitado. Analogamente, dizemos que uma função é ilimitada quando ela não é limitada.

Função real limitada[editar | editar código-fonte]

Uma função real é limitada se existe uma constante tal que:[1][2]

Além disso, dizemos que é uma função limitada superiormente quando existe tal que:[1][2]

.

Analogamente, dizemos que é limitada inferiormente quando existe tal que:[1][2]

.

Desta forma, podemos observar que uma função real é limitada quando for simultaneamente limitada superiormente e inferiormente. Analogamente, uma função real é ilimitada quando for ilimitada superiormente ou inferiormente.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Sejam duas funções e de contra-domínio real. Se é limitada, e se , então .[1]

Demonstração

Suponhamos que é uma função não-negativa. Se não há nada mais a fazer. Se é positiva, temos que como é limitada, então existe , tal que . Segue que:

e assim .

Logo:

Assim, pelo teorema do confronto, . O caso de negativa segue raciocínio análogo.

Observação[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d Lima, Elon Lages (2012). Análise Real - vol. 1 11 ed. IMPA [S.l.] ISBN 978-85-244-0048-3. 
  2. a b c Ávila, Geraldo (2000). Introdução à análise matemática 2 ed. Edgard Blücher [S.l.] 
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