Função (matemática)

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Representação em diagrama de Venn de uma função

Uma função é uma relação de um conjunto com um conjunto onde cada elemento de se relaciona unicamente com um elemento de Usualmente, denotamos uma tal função por onde é o nome da função, é chamado de conjunto de partida, é chamado de contradomínio e expressa a lei de correspondência (relação) dos elementos com os elementos Conforme suas características, as funções são agrupadas em várias categorias, entre as principais temos: função sobrejetora, função injetora, função bijetora, função trigonométrica, função linear, função modular, função quadrática, função exponencial, função logarítmica, função polinomial, dentre inúmeras outras.[1][2][3]

Conceito[editar | editar código-fonte]

As funções são definidas por certas relações. Por causa de sua generalidade, as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas da matemática baseiam-se no estudo de funções. Deve-se notar que as palavras "função", "mapeamento", "mapa" e "transformação" são geralmente usadas como termos equivalentes. Além disso pode-se ocasionalmente se referir a funções como "funções bem definidas" ou "funções totais". O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de fórmula matemática. As funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois elementos. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento (às vezes denominado variável independente) um único valor da função (também conhecido como variável dependente). Isto pode ser feito através de uma equação, um relacionamento gráfico, diagramas representando os dois conjuntos, uma regra de associação, uma tabela de correspondência, etc.. Muitas vezes, é útil associar cada par de elementos relacionados pela função com um ponto em um espaço adequado (por exemplo, no espaço geometricamente representado no plano cartesiano). Neste caso, a exigência de unicidade da imagem (valor da função) implica um único ponto para cada entrada (valor do argumento).[4][5][3]

Assim como a noção intuitiva de funções não se limita a cálculos usando números individuais, a noção matemática de funções não se limita a cálculos e nem mesmo a situações que envolvam números. De forma geral, uma função liga um domínio (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto, o contradomínio ou codomínio (conjunto de valores de saída), de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente um elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio para os quais existe pelo menos um no domínio tal que (i.e., se relaciona com ), é o conjunto imagem ou chamado simplesmente de imagem da função.[5]

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Sejam dados os conjuntos uma relação e o conjunto dos pares ordenados Dizemos que é uma função se, e somente se, para todos com temos Ou, em outras palavras, para todo existe no máximo um tal que se relaciona com [3] Assim sendo, escrevemos quando se relaciona com por O conjunto é chamado de conjunto de partida e é chamado de contradomínio da função

Outra maneira de dizer isto é afirmar que é uma relação binária entre os dois conjuntos tal que é unívoca, i.e. se e então Algumas vezes, na definição de função, impõe-se todo o elemento do conjunto se relaciona com algum elemento de

Exemplos:[editar | editar código-fonte]

Vejamos as seguintes relações

Naofuncao1.png Esta não é uma função, pois o elemento é associado (se relaciona) com dois elementos a saber com Esta é, entretanto, um exemplo das chamadas funções multivaloradas.
Naofuncao2.png Este é um exemplo de uma função dita parcial (função parcial), pois há pelo menos um elemento no conjunto de partida, a saber que não se relaciona com nenhum elemento do contradomínio (conjunto ).
Funcao venn.svg Este é um exemplo de uma função dita discreta (veja, função discreta). Sua lei de correspondência pode ser escrita da seguinte forma:

Exemplo de aplicação[editar | editar código-fonte]

Podemos usar uma função para modelar o número de indivíduos em uma população de acordo com o tempo (modelos de crescimento demográfico). Por exemplo, denotando o tempo por e o número de indivíduos em um dado tempo por escrevemos Assim, temos abstratamente modelado o número de indivíduos (variável dependente) em função do tempo (variável independente). Aqui, o nome da função foi arbitrariamente escolhido como o conjunto de partida é o conjunto dos números reais não negativos (assumindo que o tempo é contínuo e não negativo) e o contradomínio é o conjunto dos números naturais (assumindo que o número de indivíduos é sempre um número inteiro não negativo).

Elementos de uma função[editar | editar código-fonte]

Da definição, temos que uma função tem um nome, um conjunto de partida, um contradomínio (conjunto de chegada) e uma lei de correspondência. Por exemplo, denotamos onde é o nome da função, é seu conjunto de partida, é seu contradomínio e denota sua lei de correspondência.

Representação em diagrama de Venn da função A imagem de está delineada por uma linha tracejada.

Em muitos casos, nem todos os elementos do conjunto de partida se relacionam com algum elemento do contradomínio. Aqueles que se relacionam são elementos do chamado domínio da função. Mais precisamente, o domínio de uma função é o conjunto:

Também, geralmente, nem todos os elementos do contradomínio se relacionam com algum elemento do conjunto de partida. Aqueles que se relacionam são elementos da chamada imagem da função. A imagem de uma função é o conjunto:

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Seja onde o conjunto de partida é dada por e o contradomínio por Pela lei de correspondência, vemos que, neste caso, e Veja a ilustração.

Gráfico de uma função[editar | editar código-fonte]

Esboço do gráfico de uma função arbitrária de uma variável com representação do par ordenado
Ver artigo principal: Gráficos de função

O gráfico de uma função é o conjunto:

i.e, é o conjunto dos pares ordenados tal que

Quando possível, usualmente fazemos uma representação geométrica do gráfico da função. Tal representação é usualmente chamada de esboço do gráfico da função (ou, simplesmente gráfico, quando subentendido).

Popularmente, temos os gráficos de funções de uma variável, para as quais seu esboço é dado pelo conjunto de pontos no plano cartesiano (veja a ilustração). Neste caso, usualmente as variáveis independentes são chamadas de abcissas e marcadas sobre o eixo horizontal (chamado de eixo das abcissas). As variáveis dependentes são chamadas de ordenadas e marcadas sobre o eixo vertical (chamado de eixo das ordenadas).

Classificação quando a imagem[editar | editar código-fonte]

Funções são usualmente classificadas quanto a sua imagem como: funções injetoras, funções sobrejetoras e funções bijetoras. Seja dada a função Por definição, é injetora (ou injetiva) se, e somente se, para todos temos A função é dita sobrejetora (ou sobrejetiva) quando Por fim, uma função injetora e sobrejetora é dita ser bijetora (ou bijetiva). Veja a seguinte tabela.

Tipo de função Característica da função Conjunto imagem Explicação visual Exemplo Admite função inversa? É inversível?
Injetora ou injetiva Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, quando no domínio tem-se no contradomínio. Pode haver elementos do contradomínio que não pertençam à imagem da função.
Funcao venn.svg
A função dada por , é injetiva porque números distintos possuem dobros distintos. Nem sempre, mas sempre admite inversa à esquerda.
Sobrejetora ou sobrejetiva Todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio. O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio
Surjection.svg
A função , é sobrejetiva. Nem sempre, mas sempre admite inversa à direita.
Bijetora ou bijetiva São ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, cada elemento do domínio está associado a um único elemento do contradomínio e vice-versa. O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio
Bijection.svg
A função , é bijetiva. Sim.

Funções implícitas e explicitas[editar | editar código-fonte]

Dizemos que uma função é definida de forma explícita (função explícita) quando seus valores podem ser expressados pela variável independente i.e., quando temos uma relação da forma Por outro lado, dizemos que uma tal função é definida de forma implícita (função implícita) quando a relação entre as variáveis dependente e independente é dada como onde denota uma expressão envolvendo e [6]

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Seja dada por Isto é, a função que toma dois valores reais e os associa ao produto entre eles. Trata-se de uma função explícita. Agora, a equação define implicitamente a função que associa um número real não negativo ao seu inverso. Ou seja, tal função está, aqui, definida implicitamente por Notamos que neste caso em particular, podemos definir a função de forma explícita, escrevendo

Composição de funções[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Composição de funções

Dadas uma função e uma função com definimos a função composta de com por Analogamente, quando também podemos definir a função composta de com dada por [3]

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere as seguintes funções e dada por:

e

Notamos que e, portanto, podemos definir a função composta por:

Também, como temos a composição dada por:

Outras classificações[editar | editar código-fonte]

Função são classificadas quanto a uma séries de propriedades (características) além das já mencionadas. Alguns desses tipos de funções são listados a seguir.

História[editar | editar código-fonte]

O conceito matemático de função emergiu no século XVII em conexão com o desenvolvimento do Cálculo.[7][8] O termo "função" foi introduzido por Gottfried Leibniz em uma de suas cartas data em 1673, na qual ele descreve a declividade de uma curva em um ponto específico.[9] Na antiguidade, embora não se conhece o uso explícito de funções, tal conceito pode ser observado em alguns trabalhos percursores de filósofos e matemáticos medievais, como Oresme.[10]

Matemáticos do século XVII tratavam por funções aquelas definidas por expressões analíticas.[11] Foi durante os desenvolvimentos rigorosos da Análise Matemática por Weierstrass e outros, a reformulação da Geometria em termos da análise e a invenção da Teoria dos Conjuntos por Cantor, que se chegou ao conceito moderno e geral de uma função como um mapeamento unívoco de um conjunto em outro. Não há consenso sobre a quem se deva os créditos da noção moderna de função, sendo cotada os matemáticos Nikolai Lobachevsky, Peter Gustav Lejeune Dirichlet e Dedekind.[12][13][14]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. STEWART, James. Cálculo Vol. I - 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. Página 12.
  2. FRANK AYRES, Philip A. Schmidt. Matemática para Ensino Superior - 3ª edição. São Paulo: Editora Artmed, 2003. Página 16.
  3. a b c d Iezzi, Gelson (1977). Fundamentos de Matemática Elementar: conjuntos e funções (São Paulo: Atual). pp. 73–74A, 179A–180A. 
  4. STEWART, James. Cálculo Vol. I - 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.
  5. a b FRANK AYRES, Philip A. Schmidt. Matemática para Ensino Superior - 3ª edição. São Paulo: Editora Artmed, 2003.
  6. Bronshtein, I.N. (2007). Handbook of Mathematics (Berlin: Springer). p. 120. 
  7. "The emergence of a notion of function as an individualized mathematical entity can be traced to the beginnings of infinitesimal calculus". (Ponte 1992)
  8. Kleiner, Israel (2009). «Evolution of the Function Concept: A Brief Survey». In: Marlow Anderson; Victor Katz; Robin Wilson. Who Gave You the Epsilon?: And Other Tales of Mathematical History MAA [S.l.] pp. 14–26. ISBN 978-0-88385-569-0. 
  9. Eves dates Leibniz's first use to the year 1694 and also similarly relates the usage to "as a term to denote any quantity connected with a curve, such as the coordinates of a point on the curve, the slope of the curve, and so on" (Eves 1990, p. 234).
  10. "...although we do not find in [the mathematicians of Ancient Greece] the idea of functional dependence distinguished in explicit form as a comparatively independent object of study, nevertheless one cannot help noticing the large stock of functional correspondences they studied." (Medvedev 1991)
  11. N. Bourbaki (18 September 2003). Elements of Mathematics Functions of a Real Variable: Elementary Theory Springer Science & Business Media [S.l.] pp. 154–. ISBN 978-3-540-65340-0. 
  12. "On the vanishing of trigonometric series," 1834 (Lobachevsky 1951).
  13. Über die Darstellung ganz willkürlicher Funktionen durch Sinus- und Cosinusreihen," 1837 (Dirichlet 1889).
  14. "By a mapping φ of a set S we understand a law that assigns to each element s of S a uniquely determined object called the image of s, denoted as φ(s). Dedekind 1995

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Ávila, Geraldo Severo de Souza. (2005). Análise matemática para licenciatura. São Paulo. Edgard Blücher. ISBN 85-212-0371-3.
  • Barboni, Ayrton; Paulette, Walter. (2007). Fundamentos de Matemática: Cálculo e Análise. Editora LTC. ISBN 978-85-216-1546-0.
  • Iezzi, G; Murakami, C.. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos e Funções. vol. 1, 9. ed., Atual Editora:São Paulo. ISBN 9788535716801.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]