Função mensurável

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Em matemática, sobretudo na teoria da medida, funções mensuráveis são aquelas que apresentam comportamento suficientemente simples para que se possa desenvolver uma teoria de integração.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja uma função, onde e são espaços mensuráveis. Uma função é dita -mensurável se

,

isto é, se a pré-imagem de todo conjunto -mensurável é -mensurável.

Função Borel mensurável[editar | editar código-fonte]

Um caso particular importante da definição acima acontece quando tomamos como sendo a álgebra de Borel, neste caso (se a definirmos como a menor sigma-álgebra contendo a topologia), a seguinte definição é equivalente:

Seja uma função, onde é um espaço mensurável e é um espaço topológico. Uma função é dita Borel--mensurável se:

Função Borel-Lebesgue mensurável[editar | editar código-fonte]

Uma função é dita Borel-Lebesgue mensurável quando , a σ-álgebra de Lebesgue e , a álgebra de Borel.

Muitas vezes, uma função Borel-Lebesgue mensurável é dita apenas Lebesgue-mensurável ou simplesmente mensurável.

Função reais Borel-Lebesgue mensurável[editar | editar código-fonte]

É costume representar uma função pelas suas componente no contra-domínio:

Pode-se mostrar que é Borel-Lebesgue-mensurável se e somente se cada uma das é Borel-Lebesgue-mensurável.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Sejam e funções Borel-Lebesgue-mensuráveis onde é um conjunto mensurável de e e reais então:

  • é mensurável
  • é mensurável
  • é mensurável para todo
  • Se e então é mensurável.
  • Se são mensuráveis e convergem quase-sempre então o limite é uma função mensurável.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros
O wikilivro Medida e integração tem uma página intitulada Mensurabilidade