Função meromorfa

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Em análise complexa, se U for um aberto conexo não vazio de C, diz-se que uma função f definida num subconjunto de U com valores em C é meromorfa se:

  • o domínio de f é da forma U \ D, onde D é uma parte fechada e discreta de U;
  • f é holomorfa;
  • f tem um pólo em cada z_0 ∈ D.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Qualquer função holomorfa é meromorfa.
  • A função f de C \ \{0\} em C definida por f(z)=1/z é uma função meromorfa de C em C.
  • A função f de C \ (\{0\}∪ \{1/n|n ∈ Z\}) em C definida por f(z)=1/sen (π/z) não é uma função meromorfa de C em C, pois (\{0\}∪ \{1/n|n ∈ Z\}) não é um conjunto discreto. Mas f é uma função holomorfa de C \ \{0\} em C.
  • A função f de C \ \{0\} em C definida por f(z)=e^{1/z} não é uma função meromorfa de C em C, pois não tem um pólo em 0.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Seja U um aberto conexo não vazio de C e sejam f e g duas funções meromorfas de U em C. A função f tem por domínio um conjunto da forma U \ D_f e a função g tem por domínio um conjunto da forma U \ D_g, sendo D_f e D_g conjuntos fechados e discretos. Começa-se por definir f+g em U \ (D_f ∪ D_g). da maneira usual: (f+g)(z)=f(z)+g(z). Para cada d ∈ D_f ∪ D_g, é possível que exisa o limite

\lim_{z\rightarrow d}f(z)+g(z).

Se for esse o caso, define-se (f+g)(d) como sendo aquele limite. Se se definir f+g deste modo, então tem-se novamente uma função meromorfa. Podem-se definir analogamente as funções f-g, f.g e f/g (esta última caso g não seja a função nula). Com estas operações, o conjunto das funções meromorfas de U em C passa a ter uma estrutura de corpo.

O quociente de duas funções holomorfas é uma função meromorfa. Reciprocamente, qualquer função meromorfa pode-se exprimir como o quociente de duas funções holomorfas.