Função meromorfa

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Em análise complexa, se for um aberto conexo não vazio de C, diz-se que uma função definida num subconjunto de com valores em C é meromorfa se:

  • o domínio de é da forma  \ , onde é uma parte fechada e discreta de ;
  • é holomorfa;
  • tem um pólo em cada  ∈ .

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Qualquer função holomorfa é meromorfa.
  • A função de C \  em C definida por é uma função meromorfa de C em C.
  • A função de C \ ∪  ∈ Z em C definida por sen (π não é uma função meromorfa de C em C, pois ∪  ∈ Z não é um conjunto discreto. Mas é uma função holomorfa de C \  em C.
  • A função de C \  em C definida por não é uma função meromorfa de C em C, pois não tem um pólo em 0.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Seja um aberto conexo não vazio de C e sejam e duas funções meromorfas de em C. A função tem por domínio um conjunto da forma  \  e a função tem por domínio um conjunto da forma  \ , sendo e conjuntos fechados e discretos. Começa-se por definir em  \  ∪ . da maneira usual: . Para cada  ∈  ∪ , é possível que exisa o limite

.

Se for esse o caso, define-se como sendo aquele limite. Se se definir deste modo, então tem-se novamente uma função meromorfa. Podem-se definir analogamente as funções , e (esta última caso não seja a função nula). Com estas operações, o conjunto das funções meromorfas de em C passa a ter uma estrutura de corpo.

O quociente de duas funções holomorfas é uma função meromorfa. Reciprocamente, qualquer função meromorfa pode-se exprimir como o quociente de duas funções holomorfas.