Gás de Bose
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Um gás de Bose ideal é uma versão quântica de um gás ideal clássico. Ele é composto de bósons, partículas que têm um valor inteiro de spin, e portanto obedecem a estatística de Bose-Einstein. A mecânica estatística de bósons foi desenvolvida por Satyendra Nath Bose para fótons, e estendida posteriormente por Albert Einstein para partículas massivas. Einstein percebeu que um gás ideal de bósons iria se condensar quando a temperatura fosse baixa o suficiente, o que não ocorre com um gás ideal clássico. Esta fase da matéria ficou conhecida como Condensado de Bose-Einstein.
Potencial termodinâmico
[editar | editar código-fonte]Devido a Interação de troca, a maneira mais simples de trabalhar com gases quânticos é com o ensemble grande canônico:
que para um gás fica:
A segunda soma é restrita ao número total de partículas ser . Uma maneira de fazer tal soma é somar primeiro sobre todos os possíveis e depois multiplicar todos os níveis. Para um sistema de bósons, qualquer valor de é permitido, logo:
O potencial termodinâmico é então:
Se o gás possuir apenas graus de liberdade translacionais em dimensões (os demais casos podem ser tratados de forma análoga):
onde é a função gama, é a função polilogarítmica e é o volume d-dimensional que o gás ocupa.
Note que a função polilogarítmica só está definida para reais menores ou iguais a 1. O segundo termo que já estava presente na expressão anterior é a contribuição de momento zero, ou seja, do estado de menor energia.
Condensação de Bose-Einstein
[editar | editar código-fonte]O gás de bósons é o sistema mais simples que apresenta o fenômeno de condensação de Bose-Einstein. Para ver esse efeito, escrevemos o número médio de partículas:
O maior valor da função polilogarítmica acontece em quando o número de partículas em estados excitados é:
Perceba que para isso é um número finito que é atingido numa certa temperatura . Todas as demais
partículas deverão estar no estado fundamental, não importando quantas sejam (contanto que a aproximação de gás continue valendo).