Geometria de Zariski

Na matemática, a geometria de Zariski consiste de uma estrutura abstrata apresentada por Ehud Hrushovski e Boris Zilber, com intuito de dar caracterização a Topologia de Zariski numa curva algébrica, e tudo que está em seu poder. A topologia de Zariski num produto de variedades algébricas é muito raro uma Topologia produto, porém mais rica em conjuntos fechados definidos por equações que misturam dois conjuntos de variáveis. O resultado descrito dá um sentido bem definido aplicado a curvas projetivas e superfície de Riemann em particular.

Definição

Uma geometria de Zariski consiste de um conjunto X e uma estrutura topológica em cada um dos conjuntos

X, X², X³, …

satisfazendo certos axiomas.

(N) Cada um dos Xⁿ é um espaço topológico Noetheriano, de dimensões, no máximo, n.

Algumas terminologias padrão para espaços de Noetheriano vão ser assumidas agora:

(A) Em cada Xⁿ, os subconjuntos definidos pela igualdade em uma n-tupla são fechados. Os mapeamentos

X^m → Xⁿ

definidos projetando certas coordenadas e colocando outras como constantes são todos contínuos.

(B) Para uma projeção:

p: X^m → Xⁿ

e um conjunto fechado irredutível Y de X ^m, p(Y) está entre seu fechamento Z e Z \ Z′ onde Z′ é um subconjunto fechado próprio de Z. (Esta é uma eliminação de quantificadores, em um nível abstrato)

(C) X é irredutível.

(D) Existe uma linha uniforme no número de elementos de um filamento em uma projeção de qualquer conjunto fechado em X^m, exceto nos casos onde o filamento é X.

(E) Um subconjunto irredutível fechado de X^m, de dimensão r', quando intersectado com um conjunto diagonal tal que as coordenadas s são iguais, tem todos os componentes de dimensão pelo menos r − s + 1.

A próxima condição é chamada muito ampla. É assumido que existe um conjunto fechado irredutível P de algum X^m, e um subconjunto fechado irredutível Q de P× X², com as seguintes propriedades:

(I) Dados pares (x, y), (x′, y′) em X², para algum t em P, o conjunto de (t, u, v) em Q inclui (t, x, y) mas não (t, x′, y′)

(J) Para t ora de um subconjunto próprio fechado de P, o conjunto de (x, y) em X², (t, x, y) em Q é um conjunto fechado irredutível de dimensão 1.

(K) Para todos os pares (x, y), (x′, y′) em X², selecionados de fora de um subconjunto fechado próprio, existe algum t em P tal que o conjunto de (t, u, v) em Q inclui (t, x, y) e (t, x′, y′).

Geometricamente, isto diz que há curvas suficientes para separar pontos (I), e para conectar pontos (K); e que estas curvas podem ser obtidas de uma única família paramétrica.

Então Hrushovski e Zilber provaram que sob estas condições existe um campo algébrico fechado K, e uma curva algébrica não-singular C, tal que sua geometria de Zariski e sua topologia de Zariski é isomórfica à dada. Resumindo, a geometria pode ser transformada em álgebra.

Referências

• Hrushovski, Ehud; Zilber, Boris (1996). «Zariski Geometries» (PDF). Journal of the American Mathematical Society. 9 (01): 1–56. doi:10.1090/S0894-0347-96-00180-4