Grafo de Cayley

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O grafo de Cayley do grupo livre em dois geradores a e b
Famílias de grafos definidos por seus automorfismos
distância-transitivo distância-regular fortemente regular
simétrico (arco-transitivo) t-transitivo, t ≥ 2 .

(se conectado)
transitivo nos vértices e nas arestas aresta-transitivo e regular aresta-transitivo
vértice-transitivo regular
grafo de Cayley anti-simétrico assimétrico


Em matemática, área da teoria dos grafos, um grafo de Cayley, também conhecido como grafo colorido de Cayley, diagrama de Cayley, diagrama de grupo, ou grupo colorido[1] é um grafo que codifica a estrutura abstrata de um grupo. Sua definição é sugerida pelo teorema de Cayley (nomeado em honra a Arthur Cayley) e usa um conjunto de geradores específico, usualmente finito, para o grupo. É um instrumento central em combinatória e teoria geométrica de grupos.

Definição[editar | editar código-fonte]

Suponha que seja um grupo e seja um conjunto de geradores. O grafo de Cayley é um grafo direcionado colorido construído como se segue[2]

  • A cada elemento de é atribuído um vértice: o conjunto de vértices de é identificado com
  • A cada gerador de é atribuída uma cor .
  • Para qualquer os vértices correspondentes aos elementos e são unidos por uma aresta de cor . Assim, o conjunto de arestas consiste em pares da forma com proporcionando a cor.

Na teoria geométrica de grupos, o conjunto é geralmente assumido ser finito, simétrico, isto é e não contendo o elemento identidade do grupo. Neste caso, o grafo de Cayley incolor é um grafo comum: suas arestas não são orientadas e não contém laços se e somente se .

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Suponha que é o grupo cíclico infinito e o conjunto S consiste em um gerador padrão e sua inversa (-1 na notação aditiva), então o grafo de Cayley é uma cadeia infinita.
  • Similarmente, se é o grupo cíclico finito de ordem n e o conjunto S consiste de dois elementos, o gerador padrão de G e o seu inverso, então o grafo de Cayley é o ciclo .
  • O grafo de Cayley do produto direto de grupos é o produto cartesiano dos grafos de Cayley correspondentes. Assim, o grafo de Cayley do grupo abeliano com o conjunto de geradores que consiste em quatro elementos é a grade no plano , enquanto que para o produto direto com geradores semelhantes o grafo de Cayley é a grade finita em um toro.
O grafo de Cayley do grupo diedro D4 em dois geradores α e β
  • O grafo Cayley do grupo diedro D4 em dois geradores α e β é descrito à esquerda. As setas vermelhas representam a multiplicação à esquerda pelo elemento α. Uma vez que o elemento β é auto-inversível, as linhas azuis que representam a multiplicação à esquerda pelo elemento β são não direcionadas. Portanto, o grafo é misto: ele tem oito vértices, oito setas, e quatro arestas. A tabela Cayley do grupo D4 pode ser derivada a partir da apresentação do grupo


Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Wilhelm Magnus, Abraham Karrass, Donald Solitar (1976). Combinatorial Group Theory Dover Publications, Inc [S.l.] 
  2. CAYLEY, Arthur. (1878). "Desiderata and suggestions: No. 2. The Theory of groups: graphical representation". Amer. J. Math. 1 (2): 174–176.