Grupo diedral

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Em matemática e, em especial, na teoria dos grupos, um grupo diedral é o grupo de simetrias de um polígono regular de n lados qualquer, que se representa quer por D_n, quer por D_{2n}. Sua presentação é dada por D_n=\langle x,y:x^n=1,y^2=1,(xy)^2=1\rangle e D_\infty=\langle x,y:y^2=1,(xy)^2=1\rangle. [1]

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D_1 D_2 D_3 D_4 D_5 D_6 D_7

Propiedades[editar | editar código-fonte]

Exemplo[editar | editar código-fonte]

As cinco simetrias não triviais do triângulo equilátero.

Seja ABC um triângulo equilátero. Dentre as suas simetrias, temos:

  • e: o elemento neutro, ou seja, a transformação identidade que leva cada ponto do triângulo nele mesmo.
  • \rho_1 a rotação que leva A em B, B em C e C em A.
  • \rho_2 a rotação que leva A em C, C em B e B em A.
  • \sigma_A a simetria em torno da altura que passa por A.
  • \sigma_B a simetria em torno da altura que passa por B.
  • \sigma_C a simetria em torno da altura que passa por C.

Não existem outras simetrias. Considerando * como a composição de funções, temos, por exemplo, que \sigma_A * \rho_1 leva A em C, B em B e C em A, ou seja, \sigma_B = \sigma_A * \rho_1. Por outro lado, \rho_1 * \sigma_A = \sigma_C, ou seja, o grupo não é abeliano. Completando as operações, chegamos à tabela:

Grupo de Simetrias do Triângulo Equilátero
\star e \rho_1 \rho_2 \sigma_A \sigma_B \sigma_C
e e \rho_1 \rho_2 \sigma_A \sigma_B \sigma_C
\rho_1 \rho_1 \rho_2 e \sigma_C \sigma_A \sigma_B
\rho_2 \rho_2 e \rho_1 \sigma_B \sigma_C \sigma_A
\sigma_A \sigma_A \sigma_B \sigma_C e \rho_1 \rho_2
\sigma_B \sigma_B \sigma_C \sigma_A \rho_2 e \rho_1
\sigma_C \sigma_C \sigma_A \sigma_B \rho_1 \rho_2 e

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Dihedral Group

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