Grupo especial unitário

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Em matemática, o grupo especial unitário ou grupo unitário especial de grau n, denotado por SU(n), é o grupo das matrizes complexas n por n unitárias e com determinante um. A operação de grupo é o produto de matrizes.

O grupo especial unitário é um subgrupo do grupo formado pelas matrizes com determinante um, e um subgrupo do grupo unitário; ambos são subgrupos do grupo linear geral GL(n,).

O caso mais simples, SU(1), é um grupo trivial, tendo um único elemento. O grupo SU(2) é isomorfo ao grupo dos quatérnios com valor absoluto um, que por sua vez é difeomorfo a esfera de dimensão 3. Como os quatérnios unitários podem ser utilizados para representar rotações no espaço tridimensional, temos um homomorfismo sobrejetivo da SU(2) no grupo de rotações SO(3), cujo centro é .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O grupo especial unitário SU(n) é um grupo de Lie clássico de dimensão n2-1. Topologicamente, é compacto e simplesmente conexo. Algebricamente, é um grupo de Lie simples, o que significa que a sua Álgebra de Lie é simples. O centro do grupo SU(n) é isomorfo ao grupo cíclico . O seu grupo de automorfismos exteriores, para n ≥ 3, é , enquanto o grupo dos automorfismos exteriores de SU(2) é o grupo trivial.

A álgebra SU(n) algebra é gerada por n2 operadores, que claramente satisfazem a relações entre comutadores (para i,j,k,l = 1, 2, ..., n)

Além disto, o operador

satisfaz

o que implica que o número de geradores independentes de SU(n) é n2-1.[1]

Geradores[editar | editar código-fonte]

SU(2)[editar | editar código-fonte]

Para SU(2), os geradores são proporcionais às matrizes de Pauli

SU(3)[editar | editar código-fonte]

O análogo para as matrizes de Pauli para SU(3) são as matrizes de Gell-Mann

Os geradores de SU(3) são definidos por T pela relação

onde as matrizes λ Gell-Mann, são o SU(3) analógas das matrizes de Pauli para SU(2):

Estas, por sua vez, seguem a seguinte relação:

onde f é uma constante estrutural, e tem valor dado por

Referências

  1. R.R. Puri, Mathematical Methods of Quantum Optics, Springer, 2001.
  • Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics John Wiley & Sons [S.l.] ISBN 0-471-88741-2. 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]