Hexadecácoro

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Hexadecácoro
Schlegel wireframe 16-cell.png
Diagrama Schlegel
Tipo Polítopo regular
Células 16 {3,3} 3-simplex t0.svg
Faces 32 {3} 2-simplex t0.svg
Arestas 24
Vértices 8
Figura de vértice 16-cell verf.png
(Octaedro)
Símbolo de Schläfli {3,3,4}
Polígono de Petrie Octágono
Diagrama Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Grupo de simetria BC4, [3,3,4], ordem 384
D4, ordem 192
Dual Tesserato
Propriedades convexo, isogonal, isotoxal, isoedral, quasiregular

O Hexadecácoro é um polícoro (tipo de polítopo quadridimensional) delimitado por 16 faces tetraédricas. É um dos 6 polítopos regulares convexos de 4 dimensões descritos pela primeira vez pelo matemático suíço Ludwig Schläfli em meados do Século XIX. Também é conhecido como C16 (derivado da denominação 16-cell em inglês), e hexadecaedroide. [1]

O hexadecácoro regular pertence a uma família infinita de polítopos, chamados de ortoplexos. Seu polítopo dual é o Tesserato (4-cubo). Possui 16 células, assim como o tesserato tem 16 vértices. É uma forma regular formada por 16 tetraedros e é análogo ao tetraedro em 3 dimensões e ao triângulo em duas. [2][3]

Geometria[editar | editar código-fonte]

É delimitado por 16 células, sendo todas tetraedros regulares. Ele tem 32 faces triangulares, 24 arestas e 8 vértices. Os oito vértices do hexadecácoro são:

Todos os vértices são conectados por arestas, exceto os pares opostos. O símbolo de Schläfli para o hexadecácoro é {3,3,4}. Sua figura de vértice é o octaedro regular. Há oito tetraedros, 12 triângulos e seis arestas convergindo em cada vértice. Há quatro tetraedros e quatro triângulos se encontrando em cada extremidade. Pode-se decompor o hexadecácoro em duas disjunções como cadeias de 8 tetraedros cada, com 4 arestas. Cada cadeia A célula 16 pode ser decomposto em dois disjuntos como cadeias de round oito tetraedros cada, quatro bordas longas. Cada cadeia, quando esticada em linha reta, forma uma hélice de Boerdijk-Coxeter. Esta decomposição pode ser visto em um 4-4 duoantiprisma a partir da construção do hexadecácoro: CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png ou CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png, símbolo de Schläfli {2}⨂{2} ou s{2}s{2}, simetria [[4,2+,4]], ordem 64. O hexadecácoro pode ser bisectado em duas pirâmides octaédricas,das quais compartilham uma nova base octaédrica através do centro do hexadecácoro. [4]

Imagens[editar | editar código-fonte]

Stereographic polytope 16cell.png
Projeção estereográfica
16-cell.gif
uma projeção em 3D do hexadecácoro a partir de uma rotação simples.
16-cell nets.png
O hexadecácoro tem duas construções de Wythoff, uma forma regular e uma forma alternada, mostrada aqui como uma planificação.

Projeções ortogonais[editar | editar código-fonte]

Projeções Ortogonais
Plano de Coxeter B4 B3 / D4 / A2 B2 / D3
Grafo 4-cube t3.svg 4-demicube t0 D4.svg 4-cube t3 B2.svg
Simetria diedral [8] [6] [4]
Plano de Coxeter F4 A3
Grafo 4-cube t3 F4.svg 4-cube t3 A3.svg
Simetria diedral [12/3] [4]

Tesselações[editar | editar código-fonte]

Pode-se tesselar o hexadecácoro em um espaço euclidiano quadridimensional com 16 células regulares, produzindo o chamado favo de mel hexadecacórico, tendo símbolo de Schläfli {3,3,4,3}. Consequentemente, cada uma das 16 células tem um ângulo diedral de 120°. [5] A tesselação dual, o favo de mel icositetracórico ({3,4,3,3}), é feito a partir do icositetrácoro (24-cell). Juntamente com o favo de mel tesserático ({4,3,3,4}), estas são as únicas pavimentações regulares em R 4. [6]. Cada hexadecácoro contém 16 vizinhos com os quais compartilha um tetraedro, 24 vizinhos com os quais compartilha apenas uma aresta e 72 vizinhos com os quais partilha apenas um único ponto.[7][8]

Hélice de Boerdijk–Coxeter[editar | editar código-fonte]

Um hexadecácoro pode ser construído a partir de hélices de Boerdijk–Coxeter de 8 cadeias de tetraedros, cada uma se dobrada se tornando um anel quadridimensional. As 16 faces triangulares podem ser vistas em uma planificação 2D em um mosaico triangular, com 6 triângulos ao redor de cada vértice. As arestas em roxo representam o Polígono de Petrie do hexadecácoro. [9][10]

16-cell 8-ring net4.png

Projeções[editar | editar código-fonte]

Formatos de projeções do hexadecácoro.

A primeira projeção paralela das células do hexadecácoro no espaço 3D tem um formato cúbico. As células mais próximas e as mais distantes são projetadas em tetraedros inscritos dentro do cubo, o que corresponde a duas maneiras possíveis para inscrever um tetraedro regular em um cubo. Ao redor de cada um destes há 4 outros tetraedros (não regulares). As demais 6 células são projetadas nas faces quadradas do cubo. Nessa projeção, todas as bordas convergem para as faces cúbicas.[11]

A primeira projeção em perspectiva das células do hexadecácoro no espaço 3D tem o formato de um tetraedro triakis. A disposição das células neste formato são semelhantes às da projeção paralela.

A projeção paralela dos vértices das células tem um formato octaédrico. Este octaedro pode ser dividido em 8 formas tetraédricas, por corte ao longo dos planos coordenados. Cada um destes é a imagem de um par de células presentes no hexadecácoro.

A primeira projeção das arestas das células tem um formato octaédrico encurtado, e a projeção paralela tem um formato bipiramidal hexagonal. [12][13]

Diagrama de Venn esférico[editar | editar código-fonte]

A projeção usual do hexadecácoro Stereographic polytope 16cell.png e suas 4 esferas que o intersectam (um diagrama de Venn de 4 dimensões) forma topologicamente um mesmo objeto no espaço 3D:

Venn 1000 0000 0000 0000.png Venn 0110 1000 1000 0000.png

Venn 0100 0000 0000 0000.pngVenn 0010 0000 0000 0000.pngVenn 0000 1000 0000 0000.pngVenn 0000 0000 1000 0000.png

Venn 0001 0110 0110 1000.png

Venn 0001 0000 0000 0000.pngVenn 0000 0100 0000 0000.pngVenn 0000 0010 0000 0000.pngVenn 0000 0000 0100 0000.pngVenn 0000 0000 0010 0000.pngVenn 0000 0000 0000 1000.png

Venn 0000 0001 0001 0110.png

Venn 0000 0001 0000 0000.pngVenn 0000 0000 0001 0000.pngVenn 0000 0000 0000 0100.pngVenn 0000 0000 0000 0010.png

Venn 0000 0000 0000 0001.png

Construções simétricas[editar | editar código-fonte]

Há uma forma simétrica reduzida do hexadecácoro, chamada de demitesserato ou 4-demicubo, um membro da família dos demihipercubos. e representado por h{4,3,3}, e CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png ou CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Há também um antiprisma tetraédrico que pode ser construído a partir de dois tetraedros paralelos em configuraç~eos duais, conectado com8 tetraedros. É representado por s{2,4,3}, e CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Também há o 4-ortótopo Snub representado por s{21,1,1}, e CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png ou CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel split1-22.pngCDel nodes hh.png.Com o tesserato construído como um 4-4 duoprisma, o hexadecácoro pode ser visto com seu dual como a 4-4 duopirâmide. [14]

Nome Diagrama de Coxeter Símbolo de Schläfli Notação de Coxeter Ordem Figura de vértice
Hexadecácoro regular CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {3,3,4} [3,3,4] 384 CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Demitesserato CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png = CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png
h{4,3,3}
{3,31,1}
[31,1,1] = [1+,4,3,3] 192 CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
4-4 duoprisma alternado CDel label2.pngCDel branch hh.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png 2s{4,2,4} [[4,2+,4]] 64
antiprisma tetraédrico CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png s{2,4,3} [2+,4,3] 48
prisma quadrado alternado CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png sr{2,2,4} [(2,2)+,4] 16
4-ortótopo Snub CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png = CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel split1-22.pngCDel nodes hh.png s{21,1,1} [2,2,2]+ = [21,1,1]+ 8 CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
4-fusil
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {3,3,4} [3,3,4] 384 CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png {4}+{4} or 2{4} [[4,2,4]] = [8,2+,8] 128 CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png {3,4}+{ } [4,3,2] 96 CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png {4}+2{ } [4,2,2] 32 CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png { }+{ }+{ }+{ } or 4{ } [2,2,2] 16 CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png

Relação de Euler[editar | editar código-fonte]

Para todo polítopo vale a relação de Euler:

Onde:

  • V é o número de vértices;
  • A é o número de arestas;
  • F é o número de faces;
  • C é o número de células.

No caso do hexadecácoro, temos:

Fórmulas relacionadas[editar | editar código-fonte]

Volume[editar | editar código-fonte]

A fórmula que descreve o volume do hexadecácoro em 4D é:

Área superficial[editar | editar código-fonte]

Existem 3 fórmulas que descrevem a área superficial do hexadecácoro, em 3D, 2D e 1D:

Raio da esfera inscrita[editar | editar código-fonte]

O raio da esfera inscrita é:

Raio da esfera circunscrita[editar | editar código-fonte]

O raio da esfera circunscrita é:

Referências

  1. Matila Ghyka, The Geometry of Art and Life (1977), p.68 (em inglês)
  2. Actividades matemáticas
  3. [1]
  4. Se a matemática fosse minha, eu mandava ladrilhar.
  5. Coxeter, Regular polygons, p.293
  6. Aristóteles, Sobre o Céu, Livro III, Capítulo 8 [em linha]
  7. Hilton, Charles Howard (1888). «3». A New Era of Thought (em inglês). [S.l.: s.n.] 
  8. «APRENDENDO TESSELAÇÕES DE FORMA LÚDICA (.pdf)» (PDF). sbem.com.br. 2007. Consultado em 5 de junho de 2011 
  9. Dragões diapositivos
  10. «Polytopes». Consultado em 21 de janeiro de 2016. Arquivado do original em 2 de julho de 2004 
  11. [http://mathworld.wolfram.com/16-Cell.html The 16-cell (em inglês)
  12. T. Gosset: On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
  13. «Compondo um plano com polígonos: Tesselações(.pdf)» (PDF). hamello.com.br. 2010. Consultado em 5 de junho de 2011 [ligação inativa]
  14. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 409: Hemicubes: 1n1)

Ver também[editar | editar código-fonte]


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