Hierarquia analítica

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Na lógica matemática e na Teoria descritiva de conjuntos, a hierarquia analítica é uma extensão da hierarquia aritmética. A hierarquia analítica de fórmulas inclui fórmulas na linguagem da aritmética de segunda ordem, que podem ter quantificadores tanto sobre o conjunto dos números naturais, , quanto sobre as funções de em . A hierarquia analítica de conjuntos classifica-se pelas fórmulas que podem ser utilizadas para defini-las, que é a versão lightface da projeção hierárquica.

A hierarquia analítica de fórmulas[editar | editar código-fonte]

A notação indica a classe de fórmulas na linguagem da aritmética de segunda ordem sem quantificadores sobre conjuntos. Esta linguagem não contém conjuntos como parâmetros. As letras gregas aqui são símbolos lightface, que indicam a escolha da linguagem. Cada símbolo em negrito denota a classe correspondente de fórmulas na linguagem estendida com um parâmetro para cada Número real.

A fórmula na linguagem da aritmética de segunda ordem é definido como se é logicamente equivalente a uma fórmula da forma onde é . Uma fórmula é definida como sendo se é logicamente equivalente a uma fórmula da forma onde é . Esta definição indutiva define as classes e para cada número natural .

Se cada fórmula tem uma forma normal prenex , cada fórmula na linguagem da aritmética de segunda ordem é ou para algum . Dado que quantificadores inúteis podem ser adicionados a qualquer fórmula, uma vez que uma fórmula recebe a classificação ou para algum ela também receberá as classificações e para todo maior que .

A hierarquia analítica dos conjuntos de números naturais[editar | editar código-fonte]

Ao conjunto dos números naturais é atribuída a classificação se é definido pela fórmula . Ao conjunto é atribuída a classificação se for definido pela fórmula . Se o conjunto for tanto como então lhe é dada a classificação adicional .

Os conjuntos são chamados Hiper aritméticos. Uma classificação alternativa para esses conjuntos por meio de de funções computacionais é fornecida pela Teoria Hiper aritmética. Ver Hiperoperação.

A hierarquia analítica em subconjuntos dos espaços de Cantor e de Baire[editar | editar código-fonte]

A hierarquia analítica pode ser definida em qualquer espaço efetivo polonês que admite uma apresentação computável, a definição é particularmente simples para os espaços de Cantor e de Baire, porque eles se encaixam com a linguagem da aritmética de segunda ordem comum. O espaço de Cantor é o conjunto de todas as seqüências infinitas de 0s e 1s; o espaço de Baire é o conjunto de todas as seqüências infinitas de números naturais. Estes são ambos espaços poloneses.

A axiomatização ordinária de segunda ordem aritmética utiliza uma linguagem baseada em conjunto no qual o conjunto de quantificadores, naturalmente, pode ser visto como a quantificação ao longo do espaço de Cantor. Um subconjunto do espaço de Cantor é atribuído à classificação se isto for definido por uma fórmula . Ao conjunto é atribuída a classificação se este for definido por uma fórmula . Se o conjunto for tanto como então ele recebe a classificação adicional .

Um subconjunto do espaço de Baire tem um subconjunto correspondente do espaço Cantor sob o mapa que leva cada função de para para a função característica de seu gráfico . Ao subconjunto de espaço de Baire é dada a classificação , , ou se e só se o subconjunto correspondente do espaço de Cantor tem a mesma classificação. Uma definição equivalente da hierarquia analítica em espaço de Baire é dada pela definição da hierarquia analítica de fórmulas utilizando uma versão funcional da aritmética de segunda ordem, logo a hierarquia analítica em subconjuntos de espaço de Cantor pode ser definida a partir da hierarquia no espaço de Baire. Esta definição alternativa dá exatamente as mesmas classificações, como a primeira definição.

A razão pela qual o espaço de Cantor é homeomórfico a qualquer potência cartesiana finita própria, e que o espaço de Baire é homeomórfico a qualquer potência cartesiana finita de si mesma, é que a hierarquia analítica se aplica igualmente bem a potência finita cartesiana desses espaços. A extensão semelhante é possível para potências contáveis ​​e para os produtos de potências de espaço de Cantor e potências do espaço de Baire.

Extensões[editar | editar código-fonte]

Assim como a hierarquia aritmética, uma versão relativizada da hierarquia analítica pode ser definida. A linguagem é estendida para incluir um conjunto de símbolos constantes A. Uma fórmula na linguagem estendida é definida indutivamente como sendo ou usando a mesma definição indutiva como acima. Dado um conjunto de , um grupo é definido como se for definido por uma fórmula na qual o símbolo é interpretado como ; definições similares para e se aplicam. Os conjuntos que são ou , para algum parâmetro Y, são classificados na hierarquia projetiva.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O conjunto de todos os números naturais que são índices de números ordinais computáveis ​​é um que não é .
  • O conjunto de elementos de espaço de Cantor , que são as funções características bem ordenadas é um conjunto que não é . Na verdade, este conjunto não é para nenhum elemento do espaço de Baire.
  • Se o axioma da construtibilidade vale então existe um subconjunto do produto do espaço de Baire com ele, que é e é o gráfico de uma boa ordenação do espaço de Baire. Se o axioma vale então exixte também uma boa ordenação sobre o espaço de Cantor.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Para cada temos as seguintes propriedades estritas:

,
,
,
.

Um conjunto que está em para algum n é dito ser analítico. O cuidado é necessário para distinguir este uso do termo conjunto analítico, que tem um significado diferente.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Rogers, H. (1967). Theory of recursive functions and effective computability McGraw-Hill [S.l.] 
  • Kechris, A. (1995). Classical Descriptive Set Theory Graduate Texts in Mathematics 156 ed. Springer [S.l.] ISBN 0-387-94374-9.