Homologia singular

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em matemática, a homologia singular é uma teoria de homologia que associa a cada espaço topológico uma sequência de grupos abelianos \{H^s_p(X)\}_{p \in \mathbb{N}}, e a cada aplicação contínua f:X \rightarrow Y\,\!, entre dois dados espaços topológicos, uma sequência de homomorfismos induzidos f_{*,p}:H^s_p(X) \rightarrow H^s_p(Y) (p\in \mathbb{N}).

Assim como toda homologia, a homologia singular é um funtor covariante Hom\,\! entre a categoria dos espaços topológicos e aplicações contínuas e a categoria dos grupos graduados em \mathbb{N} e os homomorfismos de grupos graduados em  \mathbb{N}. É conveniente também, dado um espaço topológico X\,\! e um subespaço A \subset X, definir a homologia singular relativa H(X,A)\,\!.

Definições associadas[editar | editar código-fonte]

Seja X\,\! um espaço topológico, \Delta_p\,\! o simplexo padrão p-dimensional, isto é;

\Delta_p = \{(x_1,...,x_p) \in \mathbb{R}^p | \sum_{i=1}^{p}{x_i} \leq 1 \}.

Note que,  \{e_1,...,e_p\}\,\!, a base canônica do \mathbb{R}^p também é o conjunto dos pontos extremais do convexo  \Delta_p\,\!.

Sejam também, para 1 \leq j < p,

 F^p_i = [e_1,...,\hat{e_{i}},...,e_{p-1}]: \mathbb{R}^{p-1} \rightarrow \mathbb{R}^p ,

a aplicação linear que leva  e_i\,\! em e_i\,\!, para i < j \,\!, e  e_i\,\! em e_{i+1}\,\!, para j \leq i < p.


 F^p_i é o chamado i-ésimo operador face de \Delta_p\,\!.

Definimos o p-ésimo operador bordo sobre \Delta_p\,\! como


\partial_p :\Delta_{p-1} \rightarrow \Delta_p\,\! dada por \partial_p(x)=\sum^p_{i=1}{(-1)^i F^p_i(x)}.

Construção do complexo singular[editar | editar código-fonte]

Definimos um p-simplexo singular de X\,\! como uma aplicação contínua

\sigma : \Delta_p \rightarrow X\,\!.

Definimos para p \leq 0 o p-ésimo grupo singular de X, G_p^s(X), como sendo o grupo abeliano livre gerado pelos p-simplexos singulares de X. Note que podemos definir também \partial_p agindo sobre G^s_p(X). Podemos escrever um elemento qualquer de G_p^s(X) como \sum^N_{i=1}c_i \sigma_i, onde os \sigma_i\,\!'s são p-simplexos singulares de X\,\!, e os c_i\,\!'s são inteiros não-nulos. Definimos \partial_p (\sum_{i=1}^N {c_i \sigma_i}) por  \sum_{i=1}^N {c_i \partial_p ( \sigma_i)}.

Portanto, \partial_p : G_p^s(X) \rightarrow G_{p-1}^s(X) está bem definida.

Seja p \in \mathbb{N}. Chamamos de Nuc(\partial_p)\,\! de grupo dos p-ciclos singulares de X, que será denotado por Z^s_p(X). De forma análoga, diremos que Im(\partial_{p+1})\,\! é o grupo dos p-bordos singulares de X, que será denotado por B^s_p(X). É fácil mostrar que \partial_p  \partial_{p-1} = 0\,\!, e que portanto, \mathcal{S}(X)=\{(G^s_p(X),\partial_p)\}_{p \in \mathbb{N}} define um complexo de cadeias, a que chamaremos de complexo de cadeias singulares associado ao espaço topológico X Por definição, o p-ésimo grupo de Homologia de \mathcal{S}(X) é grupo H^s_p(X)=Z^s_p(X) / B^s_q(X) .