Homologia singular

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Em matemática, a homologia singular é uma teoria de homologia que associa a cada espaço topológico uma sequência de grupos abelianos , e a cada aplicação contínua , entre dois dados espaços topológicos, uma sequência de homomorfismos induzidos .

Assim como toda homologia, a homologia singular é um funtor covariante entre a categoria dos espaços topológicos e aplicações contínuas e a categoria dos grupos graduados em e os homomorfismos de grupos graduados em . É conveniente também, dado um espaço topológico e um subespaço , definir a homologia singular relativa .

Definições associadas[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço topológico, o simplexo padrão p-dimensional, isto é;

Note que, , a base canônica do também é o conjunto dos pontos extremais do convexo .

Sejam também, para ,

,

a aplicação linear que leva em , para , e em , para .


é o chamado i-ésimo operador face de .

Definimos o p-ésimo operador bordo sobre como


dada por .

Construção do complexo singular[editar | editar código-fonte]

Definimos um p-simplexo singular de como uma aplicação contínua

.

Definimos para o p-ésimo grupo singular de , , como sendo o grupo abeliano livre gerado pelos p-simplexos singulares de . Note que podemos definir também agindo sobre . Podemos escrever um elemento qualquer de como , onde os 's são p-simplexos singulares de , e os 's são inteiros não-nulos. Definimos por .

Portanto, está bem definida.

Seja . Chamamos de de grupo dos p-ciclos singulares de X, que será denotado por . De forma análoga, diremos que é o grupo dos p-bordos singulares de X, que será denotado por . É fácil mostrar que , e que portanto, define um complexo de cadeias, a que chamaremos de complexo de cadeias singulares associado ao espaço topológico Por definição, o p-ésimo grupo de Homologia de é grupo .