Ideal (teoria da ordem)

Na área matemática da teoria da ordem, um ideal num conjunto parcialmente ordenado ⟨A,≤⟩ é um subconjunto I de A com propriedades específicas. Esse conceito é uma generalização do de ideal em teoria dos anéis e tem considerável importância na teoria da ordem e na de reticulados, incluindo as Álgebras de Boole.

Definições

Dado um conjunto parcialmente ordenado $\left\langle A,\leq \right\rangle$, um ideal é um subconjunto não vazio $I^{\,}$ com as seguintes propriedades:

$\mathbf {1.} {\mbox{ Se }}x\in I{\mbox{ e }}y\leq x{\mbox{, então }}y\in I$

$\mathbf {2.} {\mbox{ Se }}x,y\in I{\mbox{, então }}\exists z\in I{\mbox{ tal que }}x\leq z{\mbox{ e }}y\leq z$

A propriedade 2 especifica que $I$ é um conjunto direcionado. Na definição original em reticulados, essa propriedade é substituída por:

$\mathbf {2^{*}.} {\mbox{ Se }}x,y\in I{\mbox{, então }}x\vee y\in I$

pois 2 e 2* são equivalentes em reticulados.

Um ideal $I^{\,}$ num conjunto ordenado $\left\langle A,\leq \right\rangle$ é denominado principal se existe um $i\in I^{\,}$ tal que

$I=\{x\in A\!:i\leq x\}$

Nesse caso, diz-se que $I^{\,}$ é gerado por $i^{\,}$.

Um ideal $I^{\,}$ é denominado primo, se toda vez que $x\wedge y\in I$ temos $x\in I$ ou $y\in I$.

Veja também

• Filtro (teoria dos conjuntos)
• Ideal (teoria dos anéis)
• Ideal (teoria dos conjuntos)

Bibliografia

• Birkhoff, Garret (1948). Lattice Theory. New York: American Mathematical Society 

• Birkhoff, Garrett; MacLane, Saunders (1965). A survey of modern algebra. New York: MacMillan 

• Burris, S.; Sankappanavar, H.P (1981). A course in universal algebra. New York: Springer 

• Lawson, M.V (1998). Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. [S.l.]: World Scientific. ISBN 9789810233167 

• Sikorski, Roman (1969). Boolean Algebras. Heildelberg: Springer Verlag 

• Stanley, R.P (2002). Enumerative combinatorics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521663519