Identidade trigonométrica

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Uma identidade trigonométrica é uma equação envolvendo funções trigonométricas e que é verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Estas identidades são úteis sempre que expressões envolvendo funções trigonométricas devam ser simplificadas. Uma importante aplicação é a integração de funções não-trigonométricas: um truque comum envolve primeiro usar a integração por substituição com uma função trigonométrica e então simplificar a integral resultante com uma identidade trigonométrica.

Índice

Notação[editar | editar código-fonte]

Ângulos[editar | editar código-fonte]

Esse artigo utiliza letras gregas tais como alfa (α), beta (β), theta (θ) e Phi (φ) para representar ângulos. Várias unidades de ângulo são largamente utilizadas, incluindo graus, radianos e grados:

1 volta completa  = 360 graus = 2 radianos  =  400 grados.

A tabela a seguir mostra as conversões para alguns ângulos comuns:

Graus 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330°
Radianos
Grados 33⅓ grados 66⅔ grados 133⅓ grados 166⅔ grados 233⅓ grados 266⅔ grados 333⅓ grados 366⅔ grados
Graus 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Radianos
Grados 50 grados 100 grados 150 grados 200 grados 250 grados 300 grados 350 grados 400 grados

Funções trigonométricas[editar | editar código-fonte]

As funções trigonométricas básicas são o seno e o cosseno de um ângulo, justamente porque se pode escrever qualquer outra função trigonométrica a partir das funções seno e cosseno. A notação utilizada para essas funções é   e , respectivamente, onde é o ângulo. Todavia as parênteses podem ser omitidas, ficando da seguinte forma: e.

A função tangente (escreve-se "" ou "" ) de um ângulo é a razão entre seno e o cosseno do mesmo ângulo:

.

Finalmente, as funções trigonométricas de razão recíproca, secante (), cossecante () e cotangente (), das funções cosseno, seno e tangente, respectivamente:

  • ;
  • ;
  • .
Tabela de Trigonometria da Cyclopaedia (1728)

Funções inversas[editar | editar código-fonte]

As funções trigonométricas inversas são funções inversas parciais. Por exemplo a função inversa de seno é a função arco seno, denotada por ou por  (essa ultima notação é pouco utilizada, pois costuma gerar confusão entre a função arcoseno e cossecante). Essas funções são utilizadas quando temos uma relação trigonométrica conhecida e deseja-se descobrir o ângulo que resulta em tal relação.

Por exemplo: sabendo-se que o , podemos dizer que .

Assim observa-se que, para essas funções, deve valer:

e
A tabela a seguir mostra as funções trigonométricas e suas respectivas inversas:

Função Trigonométrica Seno Cosseno Tangente Secante Cossecante Cotangente
Notação
Função Inversa Arco seno Arco cosseno Arco tangente Arco secante Arco cossecante Arco cotangente
Notação

Identidades pitagóricas[editar | editar código-fonte]

Existem diversas relações entre as funções trigonométricas. Essas relações são conhecidas como identidades trigonométricas ou identidades pitagóricas, justamente porque todas elas partem das relações estabelecidas pelo teorema de pitágoras.

A relação básica entre seno e cosseno é conhecida como Identidade Trigonométrica Fundamental, pois é a mais básica identidade pitagórica.

Esta identidade pode ser deduzida através do Teorema de Pitágoras, o que será demonstrado adiante.

Também existem outras duas identidades: e que são corolários da identidade trigonométrica fundamental.

Assim, existem três identidades pitagóricas:

Abaixo temos as demonstrações dessas identidades e, após, um quadro que relaciona todas as identidades à função trigonométrica que se deseja obter.

Relação fundamental[editar | editar código-fonte]

Relação entre seno e cosseno no círculo trigonométrico

Vamos demonstração a relação fundamental:

Demonstração geométrica[editar | editar código-fonte]

Seja o triângulo retângulo ACH, com catetos e e hipotenusa observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: e

Aplicando o teorema de Pitágoras:

Logo:

Corolários[editar | editar código-fonte]

1° Corolário[editar | editar código-fonte]

Vamos demonstrar o seguinte corolário:

Relação entre secante e tangente no círculo trigonométrico

Demonstração Geométrica[editar | editar código-fonte]

Seja o triângulo retângulo ADF, com catetos e e hipotenusa observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: e

Aplicando o teorema de Pitágoras:

Logo:

Demonstração Algébrica[editar | editar código-fonte]

É possível demonstrar esse corolário através da relação fundamental dividindo todos os termos por da seguinte forma:

2° Corolário[editar | editar código-fonte]

Vamos demonstrar o seguinte corolário:

Relação entre cossecante e cotangente no círculo trigonométrico

Demonstração Geométrica[editar | editar código-fonte]

Seja o triângulo retângulo AEG, com catetos e e hipotenusa observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: e

Aplicando o teorema de Pitágoras:

Logo:

Demonstração Algébrica[editar | editar código-fonte]

É possível demonstrar esse corolário através da relação fundamental dividindo todos os termos por da seguinte forma:

Tendo em mente esses dois resultados podemos ainda demonstrar as seguintes relações:

e

[1]

Lista de relações entre funções trigonométricas.[2]
relacionado a

Simetria[editar | editar código-fonte]

Na tabela a seguir temos as relações de simetria entre diferentes tipos de ângulos e suas funções trigonométricas e em seguida suas devidas explicações e demonstrações.

Ângulos replementares[3] Ângulos complementares[4] Ângulos suplementares

Simetria entre ângulos replementares[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Ângulo replementar

Chamamos de ângulo replementar o ângulo que, somado a outro, resulta em ou .

A seguir temos as explicações dessas relações e ao lado temos as verificações geométricas.

Seno e cosseno de ângulos replementares[editar | editar código-fonte]

Verificação Geométrica da simetria entre seno e cosseno no círculo trigonométrico unitário

Para seno e cosseno de ângulos replementares temos as relações:

  • , ou seja,os senos de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos;
  • , ou seja, os cossenos de dois ângulos replementares são iguais.

Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas propriedades e a abaixo as demonstrações.

Demonstração geométrica[editar | editar código-fonte]

A demonstração de é trivial, pois ambos são coincidentes (ambos são o mesmo segmento) o que pode ser observado na figura ao lado.

Para demonstrar que partiremos de congruência de triângulos.

Seja os ângulos e no ciclo trigonométrico unitário, conforme vemos na figura ao lado, temos:

Com base nisso e sabendo que teríamos que , uma vez que .

Porém, pela definição de seno no ciclo trigonométrico temos que , uma vez que o seno no 3° e no 4° quadrante são negativos.

Logo temos que e .

Tangente de ângulos replementares[editar | editar código-fonte]

Para a tangente de ângulos replementares temos a relação:

  • , ou seja, as tangentes de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos.
Representação geométrica da simetria entre tangente de ângulos replementares.

Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessa propriedade e abaixo temos a demonstração algébrica.

Demonstração algébrica[editar | editar código-fonte]

Para demonstrar que , partiremos da relação entre seno e cosseno.

Temos, pela definição de tangente, que a tangente de um ângulo é a razão entre o seno e cosseno do mesmo ângulo.

Assim, temos que:

Logo .

Cossecante e secante de ângulos replementares[editar | editar código-fonte]

Para a cossecante e secante de ângulos replementares temos as relações:

  • , ou seja, as cossecantes de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos;
  • , ou seja, as secantes de dois ângulos replementares são iguais.

Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas propriedades abaixo temos as demonstrações algébricas.

Verificação geométrica da simetria entre secante e cossecante de ângulos replementares
Cossecante de ângulos replementares[editar | editar código-fonte]

Para demonstrar que , partiremos da relação de simetria do seno.

Temos, pela definição de cossecante, que a cossecante de um ângulo é o inverso multiplicativo do seno do mesmo ângulo.

Assim, temos que:

Logo .

Secante de ângulos replementares[editar | editar código-fonte]

Para demonstrar que , partiremos da relação de simetria do cosseno.

Temos, pela definição de secante, que a secante de um ângulo é o inverso multiplicativo do cosseno do mesmo ângulo.

Assim, temos que:

.

Logo .

Cotangente de ângulos replementares[editar | editar código-fonte]

Verificação geométrica da simetria entre cotangente de ângulos replementares

Para a cotangente de ângulos replementares temos a relação:

  • , ou seja, as cotangentes de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos.

Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessa propriedade e abaixo temos a demonstração algébrica.

Demonstração algébrica[editar | editar código-fonte]

Para demonstrar que é possível partir da relação de simetria entre tangente ou da relação de simetria entre seno e cosseno.

Utilizaremos aqui relação de simetria entre tangente.

Temos, pela definição de cotangente, que a cotangente de um ângulo é o inverso multiplicativo da tangente do mesmo ângulo.

Assim, temos que:

.

Logo .[5]

Simetria entre ângulos complementares[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Ângulo complementar

Chamamos o ângulo complementar um ângulo que, quando somado a outro, resulta em ou .

A seguir temos as explicações e demonstrações dessas relações e suas verificações geométricas.

Seno e cosseno de ângulos complementares[editar | editar código-fonte]

Para seno e cosseno de ângulos complementares temos as seguintes relações:

, ou seja, o cosseno de um ângulo é igual ao seno do seu complementar (ou vice-versa);

, ou seja, o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar (ou vice versa).

Triângulo retângulo qualquer

Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessa propriedade e abaixo temos suas demonstrações

Demonstração para ângulos agudos[editar | editar código-fonte]

Essa primeira demonstração se limita para ângulos agudos, pois utiliza a relação entre o seno e o cosseno dos ângulos não retos de um triângulo retângulo qualquer.

Para essa demonstração, então, utilizaremos o triângulo retângulo ao lado.

Nesse triângulo observamos que os ângulos não retos são complementares, pois a soma de todos os ângulos de um triângulo é .

Assim, primeiramente, vamos analisar as relações trigonométricas relativas ao ângulo e, em seguida, analisar as relações trigonométricas relativas ao ângulos :

;

.

Assim, conforme observamos nas relações acima temos:

e

.

Assim, demonstramos a relação de simetria entre seno e cosseno de ângulos agudos e complementares.[6]

Demonstração no ciclo trigonométrico[editar | editar código-fonte]

Queremos demonstrar que e .

Para isso partiremos dos triângulo s e .

Observe que nesses triângulos temos as seguintes relações:

Verificação geométrica da congruência de triângulos para seno e cosseno e ângulos complementares.

e

Assim, com base nessas relações observamos que os dois triângulos são congruentes pelo caso de congruência lado, ângulo e ângulo oposto ao lado[7].:

Nessa congruência de triângulos chegamos ás seguintes conclusões:

Verificação da simetria entre cotangente de um ângulo e seu complementar.

e

.

Assim demonstramos a relação de de simetria entre seno e cosseno de ângulos complementares.

Tangente e cotangente de ângulos complementares[editar | editar código-fonte]

Verificação geométrica da relação de simetria entre a tangente de um ângulo e seu complementar

Para a relação de simetria entre tangente e cotangente de ângulos complementares temos as seguintes relações:

  • , ou seja, a cotangente de um ângulo é igual a tangente de seu complementar;
  • , ou seja, a tangente de um ângulo é igual a cotangente de seu complementar.

Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas relações e, em seguida, suas demonstrações.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Queremos demonstrar que e que .

Para isso partiremos das definições de tangente e cotangente e das relações de simetria entre seno e cosseno de ângulos complementares.

Pela definição de tangente, temos que a tangente de um ângulo pode ser expressa pela razão entre o seno e cosseno do mesmo ângulo.

Dessa forma, temos:

, pois a cotangente de um ângulo é igual a razão entre o cosseno e o seno do mesmo ângulo.

Para demonstrarmos que partiremos da definição de tangente como inverso multiplicativo da cotangente.

Assim, temos:

.

Logo e .

Secante e cossecante de ângulos complementares[editar | editar código-fonte]

Verificação geométrica da relação de simetria entre secante de um ângulo e seu complementar

Para a relação de simetria entre secante e cossecante de ângulos complementares temos as seguintes relações:

  • , ou seja, a cossecante de um ângulo é igual a secante de seu complementar;
  • , ou seja, a secante de um ângulo é igual a cossecante de seu complementar.

Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas relações e, em seguida, suas demonstrações.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Queremos demonstrar que e que .

Para isso partiremos das definições de secante e cossecante como inversos multiplicativos do cosseno e do seno, respectivamente. Após isso aplicaremos as relações já demonstradas de seno e cosseno de ângulos complementares.

Assim temos:

Verificação geométrica da relação de simetria entre cossecante de um ângulo e seu complementar.

.

e

.

Em temos demonstrado a relação da secante de ângulos complementares e em temos demonstrado a relação da cossecante de ângulos complementares.[8]

Simetria entre ângulos suplementares[editar | editar código-fonte]

Chamamos de ângulos suplementares dois ângulos que, somados, resultam em ou .

A seguir temos as explicações dessas relações e suas respectivas demonstrações.

Simetria entre seno e cosseno de ângulos suplementares[editar | editar código-fonte]

Para a relação de simetria entre seno e cosseno de ângulos suplementares temos as seguintes relações:

  • , que significa que o seno de um ângulo é igual ao seno de seu suplementar;
  • , que significa que o cosseno de um ângulo é igual ao inverso aditivo do cosseno de seu complementar.

A seguir temos a demonstração para essas duas propriedades e suas verificações geométricas.[1]

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Verificação geométrica da relação existente entre seno e cosseno de ângulos suplementares.
Para demonstração do seno e cosseno suplementar.png

Queremos demonstrar que e .

Para isso partiremos dos triângulos e da figura ao lado.

Observe que, nesses triângulos, temos as seguintes relações:

e

Assim, com base nessas relações, percebemos que os triângulos são congruentes pelo caso de congruência lado, ângulo e ângulo oposto ao lado. Da seguinte forma:

Logo, a partir dessa congruência de triângulos, temos as seguintes relações:

e

.

Como é um ângulo obtuso e que possui imagem no segundo quadrante temos que é negativo.

Assim, podemos dizer que .

Assim demonstramos a relação existente entre seno e cosseno de ângulos suplementares.

Verificação geométrica da relação existente entre tangente de ângulos suplementares

Simetria entre tangente e cotangente de ângulos suplementares[editar | editar código-fonte]

Para tangente e cotangente de ângulos suplementares temos as seguintes relações:

  • , que significa que a tangente de um ângulo é igual ao inverso aditivo da tangente do seu suplementar;
  • , que significa que a cotangente de um ângulo é igual ao inverso aditivo da cotangente do seu suplementar.

Abaixo temos as demonstrações dessas propriedades e suas verificações geométricas.

Demonstração algébrica[editar | editar código-fonte]

Para demonstrar essas relações partiremos das já demonstradas relações de simetria entre cosseno e seno de ângulo suplementares.

Assim, temos que e que .

Escrevendo a tangente como a razão entre seno e cosseno e utilizando estas relações temos o seguinte:

.

Logo a tangente de um ângulo é igual ao inverso aditivo da tangente do seu suplementar.

Verificação geométrica da relação existente entre cotangente de ângulos suplementares.

Tendo demonstrado essa relação para a tangente fica fácil demonstrá-la para a cotangente, bastando para isso escrever a cotangente como inverso multiplicativo da tangente, da seguinte forma:

.

Logo a cotangente de um ângulo é igual ao inverso aditivo da cotangente do seu suplementar.[1]

Simetria entre secante e cossecante de ângulos suplementares[editar | editar código-fonte]

Para a secante e cossecante de ângulos suplementares temos as seguintes relações:

  • , que significa que a secante de um ângulo é igual ao inverso aditivo da secante do seu suplementar;
  • , que significa que a cossecante de um ângulo é igual à cossecante do seu suplementar.
Verificação geométrica da relação de simetria entre secante e cossecante de ângulos suplementares.

Abaixo temos as demonstrações dessas propriedades e suas verificações geométricas.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Para demonstrar essas relações partiremos das relações de simetria entre seno e cosseno de ângulo suplementares.

Assim, temos:

e

Logo a secante de um ângulo é igual ao inverso aditivo da secante de seu suplementar e a cossecante de um ângulo é igual ao inverso aditivo da cossecante de seu suplementar.[1]

Translação e periodicidade[editar | editar código-fonte]

Trocando-se valores de certos ângulos, é possível obter equivalências entre as funções trigonométricas. Funções trigonométricas são periódicas, e portanto, valores específicos de ângulo para as funções trigonométricas denotam um mesmo valor.

Adicionando-se π/2 Adicionando-se π
Período para tan e cot[9]
Adicionando-se 2π
Período para sen, cos, csc e sec[10]

Teoremas de adição[editar | editar código-fonte]

É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas da soma e da diferença de números reais, se conhecermos as funções circulares desses números.

A seguir há uma tabela que contém todas as fórmulas para adições e subtrações de arcos e, abaixo, suas demonstrações.

Seno [11][12]
Cosseno [12][13]
Tangente [12][14]
Arco seno [15]
Arco coseno [16]
Arco tangente [17]

Demonstrações[editar | editar código-fonte]

Cosseno da Soma[1][editar | editar código-fonte]

Soma de arcos

Para descobrir o cosseno da soma de dois arcos (ou ângulos) segue a seguinte fórmula:

Demonstração:

Sejam os pontos da figura ao lado, associados aos arcos e respectivamente. Assim, conforme já fora demonstrado, as coordenadas cartesianas dos pontos e são as seguintes:

Observa-se, também, que os arcos que há entre os pontos A e B é igual ao arco que há entre o ponto E e C, o que faz com as respectivas cordas sejam iguais, logo:

Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos da geometria analítica, temos:

e

Simplificando a primeira relação, temos:

Sabendo que podemos reescrever:

Simplificando a segunda relação, temos:

Sabendo que podemos reescrever:

Por fim, sabendo que se então logo podemos igualar as duas relações da seguinte forma:

Podemos, por fim isolar o cosseno da soma em um dos lados da igualdade:

.

Cosseno da diferença:[1][editar | editar código-fonte]

De forma similar ao cosseno da soma, o cosseno da diferença pode ser expresso por:

Demonstração:

Seja o cosseno da soma já demonstrado, podemos demonstrar o cosseno da diferença através de algebrismos simples:

Assim, aplicando-se a formula do cosseno da soma obtêm-se:

De tal modo, sabendo que:

e

Podemos reescrever como:

Logo:

Seno da soma[editar | editar código-fonte]

Para descobrir o seno da soma entre dois arcos segue a seguinte fórmula:

Demonstração:

Através das relações de simetria entre seno e cosseno, sabemos que:

e

Assim, podemos escrever:

Aplicando-se a já demonstrada fórmula do cosseno da diferença, temos:

Portanto, aplicando novamente as relações de simetria, chegamos à formula:

Seno da diferença[editar | editar código-fonte]

De forma similar ao seno da soma, o seno da diferença é expresso por:

Demonstração:

Seja o seno da soma já demonstrado, é possível demonstrar o seno da diferença através de algebrismos simples:

Aplicando-se a fórmula do seno da soma temos:

Tendo em mente que:

e

Podemos reescrever:

Logo:

Tangente da Soma[1][editar | editar código-fonte]

Para obter a tangente da soma de dois arcos utiliza-se a seguinte fórmula:

Demonstração:

Seja podemos escrever:

Aplicando-se as fórmulas já demonstradas do seno e do cosseno da soma, temos que:

Podemos dividir o denominador e o numerador por de forma a reescrever a fórmula:

Simplificando, temos:

Logo:

Tangente da diferença[editar | editar código-fonte]

De forma análoga à tangente da soma, a tangente da diferença pode ser obtida através da fórmula:

Demonstração:

Sabendo que

Podemos aplicar a fórmula da tangente da soma do seguinte modo:

Tendo em mente que podemos reescrever como:

Logo:

Cotangente da soma[editar | editar código-fonte]

Para calcular a cotangente da soma de dois arcos utiliza-se a seguinte fórmula:

Demonstração:

Seja podemos escrever:

Aplicando-se as fórmulas já demonstradas do cosseno e do seno da soma, temos:

Podemos dividir o numerador e o denominador por para reescrever a fórmula:

Simplificando:

Logo:

Cotangente da diferença[editar | editar código-fonte]

De forma análoga à cotangente da soma, pode-se calcular a cotangente da diferença entre dois arcos aplicando-se a seguinte fórmula:

Demonstração

Seja podemos aplicar a fórmula da cotangente da soma da seguinte maneira:

Sabendo que podemos reescrever:

Logo:

Fórmulas de arco múltiplo[editar | editar código-fonte]

Tn é o enésimo Polinômio de Chebyshev   [18]
Sn é o enésimo polinômio de abertura
Fórmula de De Moivre, é a unidade imaginária     [19]

Formulas de arco duplo, triplo e metade[editar | editar código-fonte]

É possível obter as funções trigonométricas quando temos um ângulo sendo multiplicado ou divido, conforme as fórmulas da tabela abaixo.

A seguir temos as demonstrações dessas propriedades.

Fórmulas de arco duplo[20][21]
Fórmulas de arco triplo[18][22]
Fórmulas de arco metade[23][24]

Fórmulas da duplicação de ângulos[editar | editar código-fonte]

Seno do dobro[editar | editar código-fonte]

Para calcular o seno de um arco do tipo utiliza-se a fórmula:

Demonstração:

Seja podemos aplicar a fórmula do seno da soma, de modo que:

Logo:

Cosseno do dobro[editar | editar código-fonte]

Para calcular o cosseno de um arco do tipo pode-se utilizar as seguintes fórmulas:

Demonstração:

Seja podemos aplicar a fórmula do cosseno da soma para obter:

Logo:

Demonstração:

Seja a relação fundamental já demonstrada, temos que

Aplicando-se essa relação na fórmula demonstrada acima temos:

Logo:

Demonstração

Seja a relação fundamental temos que

Ao aplicarmos isso na fórmula temos:

Logo:

Tangente do dobro[editar | editar código-fonte]

Para calcular a tangente de um arco do tipo pode-se utilizar a seguinte fórmula:

Demonstração:

Seja podemos aplicar a fórmula da tangente da soma:

Logo:

Fórmulas da divisão do ângulo em dois[editar | editar código-fonte]

Seno da divisão[editar | editar código-fonte]

Para calcular o seno da metade de um arco, utiliza-se a seguinte fórmula:

Demonstração:

Sabendo que podemos definir de modo a reescrever:

Logo, isolando temos:

Cosseno da divisão[editar | editar código-fonte]

Para calcular o cosseno da metade de um arco, utiliza-se a seguinte fórmula:

Demonstração:

Sabendo que podemos definir de modo a reescrever:

Portanto, isolando temos:

Tangente da divisão[editar | editar código-fonte]

Para calcular a tangente da metade de um arco, utiliza-se a fórmula:

Demonstração:

Para demonstrar essa fórmula utilizaremos as duas fórmulas demonstradas acima, da seguinte forma:

Logo:

Note que, para esses três casos, significa que pode haver qualquer dos dois sinais, dependendo do valor de [1]

Fórmulas de redução de potências[editar | editar código-fonte]

Resolve-se com as fórmulas de duplo ângulo, isolando-se:

Produto para soma e soma para produto[editar | editar código-fonte]

Os produtos para somas e somas para produto podem ser provados por meio de substituições nos teoremas de adição.

Produto para soma[25]
Soma para produto[26]

Cálculo[editar | editar código-fonte]

Se as funções trigonométricas são definidas geometricamente, então suas derivadas podem ser encontradas primeiramente verificando que e então usando a definição por limite da derivada e os teoremas de adição; se eles são definidos por suas Séries de Taylor, então as derivadas podem ser encontradas pela diferenciação das séries de potências termo a termo.

O restante das funções trigonométricas pode ser diferenciado usando as identidades acima e as regras de diferenciação, por exemplo

Definições exponenciais[editar | editar código-fonte]

Função Função inversa[27]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d e f g h Iezzi, Gelson (2004). Fundamentos de Matemática Elementar, trigonometria - 8 ed. [S.l.: s.n.] ISBN 9788535704570. 
  2. Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45
  3. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15
  4. The Elementary Identities
  5. Carmo, Manfredo Perdigão do (2005). Trigonometria/Números Complexos (Rio de Janeiro: SBM). 
  6. «Trigonometria: Arcos complementares». 
  7. Dolce, Olsvaldo; Pompeo (2013). Fundamentos de matemática elementar 9: geometria plana 9 ed. (São Paulo: Atual). p. 45. ISBN 9788535716863. 
  8. «Razões trigonométricas de um ângulo agudo». 
  9. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9
  10. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8
  11. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16
  12. a b c Eric W. Weisstein, Trigonometric Addition Formulas em MathWorld
  13. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17
  14. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18
  15. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42
  16. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43
  17. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36
  18. a b Eric W. Weisstein, Multiple-Angle Formulas em MathWorld
  19. Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48
  20. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26
  21. Eric W. Weisstein, Double-Angle Formulas em MathWorld
  22. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.27–28
  23. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
  24. Eric W. Weisstein, Half-Angle Formulas em MathWorld
  25. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33
  26. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39
  27. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31