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Identidade trigonométrica fundamental

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A identidade trigonométrica fundamental é uma identidade trigonométrica que expressa o teorema de Pitágoras em termos de funções trigonométricas. Junto com a fórmula da soma dos ângulos é a relação básica entre as funções seno e cosseno a partir das quais todas as outras podem ser derivadas.

Enunciado da identidade

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Matematicamente, a identidade trigonométrica fundamental diz:

(Note que sen2 x significa (sen x)2.)

As identidades

e

são os seus principais corolários e são facilmente obtidos usando álgebra elementar, a saber, dividindo-se ambos os membros da identidade trigonométrica fundamental por cos2 x e por sen2 x, respectivamente. Assim como (1), também possuem interpretações geométricas simples do teorema de Pitágoras.

Provas e sua relação com o Teorema de Pitágoras

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Usando triângulos-retângulos

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Usando a "definição" elementar das funções trigonométricas em termos dos lados de um triângulo retângulo,

o teorema segue elevando-se ambos membros das identidades ao quadrado e depois somando-as; o membro esquerdo então fica

que pelo teorema de Pitágoras é igual a 1. Note, no entanto, que esta definição é apenas válida para ângulos entre 0 e ½π radianos (exclusive) e portanto esse argumento não prova e identidade para um ângulo qualquer. Os valores de 0 e ½π são provados trivialmente através do cálculo de seno e cosseno nesses ângulos.

Para completar a prova, as identidades encontradas em periodicidade, simetria e translações trigonométricas devem ser empregadas. Pelas identidades de periodicidade podemos dizer que se a fórmula é verdadeira para -π < x ≤ π então é verdadeira para todo x real. A seguir provamos o intervalo ½π < x ≤ π e para fazer isso tomamos t = x - ½π, que estará no intervalo 0 < x ≤ ½π. Podemos então fazer uso de versões elevadas ao quadrado de algumas identidades básicas de transformação (elevar ao quadrado convenientemente elimina os sinais de menos).

Tudo o que falta é provar a identidade para −π < x < 0; isso pode ser feito elevando-se as identidades de simetria para obter

Usando o círculo unitário

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Se as funções trigonométricas são definidas em termos do círculo unitário, a prova é imediata: dado um ângulo θ, há um único ponto P no círculo unitário centrado na origem no plano euclidiano em um ângulo θ do eixo-x, e cos θ, sen θ são respectivamente as coordenadas x e y do ponto P. Pela definição do círculo unitário, a soma dos quadrados dessas coordenadas é igual a 1, daí a identidade.

A relação com o teorema de Pitágoras deve-se ao fato do círculo unitário ser definido pela equação[1]

Uma vez que os eixos x e y são perpendiculares entre si, esse fato é ainda equivalente ao teorema de Pitágoras para triângulos de hipotenusa 1.

Usando séries de potências

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As funções trigonométricas também podem ser definidas usando séries de potências, para x em radianos:

Usando a lei formal de multiplicação para séries de potências modificada aqui para servir à forma das séries aqui, obtemos

Note que na expressão para , n deve ser pelo menos 1, enquanto que na expressão para , o termo constante é igual a 1. Os termos remanescentes da soma são (com fatores comuns removidos)

pelo teorema binomial. O teorema de Pitágoras não está proximamente relacionado à identidade trigonomátrica fundamental quando as funções trigonométricas são definidas desta forma; ao invés disso, em combinação com o teorema, a identidade agora mostra que essa série de potências parametriza o círculo unitário, que usamos na seção anterior. Note que esta definição na verdade constrói as funções seno e cosseno de uma forma bastante rigorosa e prova que elas são diferenciáveis, de forma que ela inclui as duas anteriores.

Usando a equação diferencial

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É possível definir as funções seno e cosseno com duas soluções únicas para a equação diferencial[2]

satisfazendo respectivamente e . Segue da teoria das equações diferenciais ordinárias que a primeira solução mostrada, o seno, tem a última, cos, como sua derivada, e disso segue que a derivada de cos é −sin. Para provar a identidade trigonométrica fundamental é suficiente mostrar que a função

é constante e igual a 1. No entanto, ao diferenciá-la e ao aplicar os dois fatos que acabamos de mencionar vemos que então z é constante e .

Essa forma da identidade também não tem conexão direta com o teorema de Pitágoras.

Referências

  1. Este resultado pode ser encontrado usando a fórmula da distância para a distância da origem até o ponto . Ver Cynthia Y. Young (2009). Algebra and Trigonometry 2nd ed. [S.l.]: Wiley. p. 210. ISBN 0-470-22273-5  Essa abordagem presume o teorema de Pitágoras. Alternativamente, poderia-se simplesmente substituir os valores e determinar que o gráfico é um círculo.
  2. Tyn Myint U., Lokenath Debnath (2007). «Example 8.12.1». Linear partial differential equations for scientists and engineers 4th ed. [S.l.]: Springer. p. 316. ISBN 0-8176-4393-1