Integração por substituição trigonométrica

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A substituição trigonométrica é uma técnica de integração muito utilizada quando ocorre integrando algébricos. Ela se baseia no fato que identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de um função algébrica por uma função trigonométrica, que pode ser mais facilmente integrada.

Substituição Trigonométrica[editar | editar código-fonte]

Antes de alguns exemplos, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições consiste no uso da fórmula fundamental da trigonometria

É fácil de perceber, que as funções e podem ser obtidas, passando um delas para o outro lado e subtraindo de 1. Obtendo as seguintes fórmulas:

Fórmulas de outras funções trigonométricas como tangente e secante, podem ser obtidas dividindo ambos os lados da equação fundamental da trigonometria por um fator conveniente. Por exemplo, para se obter uma relação envolvendo a tangente e a secante divide-se ambos os lados da equação por

Resultando em:

Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma:

para , sendo a uma constante positiva.

para , com a > 0

para , sendo a maior do que zero, constante.

Substituição inversa[editar | editar código-fonte]

Deve se ter em mente que a substituição trigonométrica não é inteiramente igual a substituição clássica onde uma variável é colocada em função de x (a incógnita original da equação), mas sim o contrario será feito.

,

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a integral usando a substituição , obtêm-se

A integral de cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por partes

Voltando a equação original

Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito transpondo o ângulo para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a igual a , conseqüentemente o cateto adjacente ao ângulo valerá . Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:

O ângulo pode ser expresso como Obtendo assim como resposta final: