Integral de Fresnel

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S(x) and C(x) O máximo de C(x) é cerca de 0.977451424. Se πt²/2 fosse usado em vez de t², a imagem estaria escalada verticalmente e horizontalmente (ver abaixo).

Integrais de Fresnel, S(x) e C(x), são duas funções transcendentais, cujo nome advém de Augustin-Jean Fresnel, que são usadas em óptica. Advieram da descrição do fenómeno de difração de Fresnel em campos próximos (sugerido do inglês, near field) e são definidos pelas seguintes representações de integral:

A simultânea equação paramétrica de S(x) e C(x) é a Espiral de Cornu (também conhecida como clotóide e como espiral de Euler).

Definição[editar | editar código-fonte]

Os integrais de Fresnel admitem a seguinte série de potências que convergem para todo o x:

Integrais de Fresnel normalizados, S(x) e C(x). Nestas curvas o argumento da função trignométrica é πt2/2, por oposição a t2 como acima.

Alguns autores, incluindo Handbook of Mathematical Functions, (eqs 7.3.1 – 7.3.2) usam para o argumento dos integrais definindo S(x) e C(x). Para conseguir estas funções, multiplicam os integrais acima por e multiplicam o argumento x por .

Espiral de Cornu[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Espiral de Cornu
A espiral de Cornu (xy) = (C(t), S(t)). A espiral converge do centro dos buracos na imagem à medida que t tende para o infinito, positivo ou negativo.

A espiral de Euler, ou Cornu, ou clotóide, é a curva gerada pela equação paramétrica de S(t) por oposição a C(t). A esperial de Cornu foi criada por Marie Alfred Cornu como um nomograma para computação de difrações em ciência e engenharia.

Pela definição dos integrais de Fresnel, os infinitésimais dx e dy são:

Logo o comprimento da esprial medido da origem pode ser expresso como:

Isto é, o parâmetro t é o comprimento da curva medido da origem (0,0) e a esprial de Cornu tem comprimento infinito. O vector [cos(t²), sin(t²)], também chamado vector tangente unitário, ao longo da espiral dá θ = . Visto t ser o comprimento da curva, a curvatura pode ser expressa como:

E o rácio de modificação da curvatura com respeito ao comprimento da curva é:

Uma espiral de Cornu tem uma propriedade em que a curvatura é, em qualquer ponto, proporcional à distância ao longo da espiral, medida desde a origem. Esta propriedade faz com que seja útil no cálculo da curvatura em engenharia de autoestradas ou caminhos de ferro.

Se um veículo segue a espiral a uma velocidade, o parâmetro t nas derivações acima também representa o tempo. Isto é o veículo seguindo a espiral em velocidade constante vai ter um valor constante de aceleração angular.

Secções das espirais de Euler são vulgarmente usadas na forma de ciclos de Montanha-russa para fazer o que é conhecido como ciclos verticais (em que os utilizadores são postos de cabeça para baixo na sua viagem após uma subida, seguido de uma descida).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • C e S são funções inteiras.
  • Os integrais definindo C(x) e S(x) não podem ser avaliado em numa expressão fechada em termo de funções elementares, excepto em casos especiais. Os limites desta funções à medida que x se aproxima do infinito são conhecidos:

Avaliação[editar | editar código-fonte]

The sector contour used to calculate the limits of the Fresnel integrals

Os limites de C e S à medida que o argumento vai para o infinito podem ser encontrados por métodos de Análise complexa. Isto usa o integral de contorno (sugerido do inglês contour integral da função

à volta da fronteira da região em forma do setor circular no plano complexo criada pelo positivo eixo x, meia linha de y = x, x ≥ 0, e o círculo de raio R centrado na origem.

Como R vai para infinito, o integral ao longo do arco circular tende para 0, o integral ao longo do eixo real tende para o integral gaussiano

depois de algumas transformações de rotina, o integral ao longo do bi-sector do primeiro quadrante pode ser relacionado com o limite dos integrais de Fresnel.

Generalizção[editar | editar código-fonte]

O integral

é uma função hipergeométrica confluente (sugerio do inglês, confluent hypergeometric function) e também uma função de gamma incompleta (sugerido do inglês, incomplete Gamma function).

que reduz o integral de Fresnel se as suar partes reais ou imaginárias são retiradas:

.

O termo princípal da expansão assimtótica é

,

logo ,

e em particular

com o lado esquerdo a convergir para a>1 e o lado direito sendo a sua extensão analítica ao plano inteiro menos onde se encontram os polos de .

A transformação de Kummer da função hipergeométrica confluente é

com .

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

Links externos[editar | editar código-fonte]