Invariantes de Riemann

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Os invariantes de Riemann são transformações matemáticas feitas em um sistema de equações conservativas para as tornarem mais fáceis de serem resolvidas. As invariantes de Riemann são constantes ao longo de curvas características de equações diferenciais parciais onde obtêm o nome de invariantes. Elas foram obtidas pela primeira vez por Bernhard Riemann em seu trabalho com ondas planas nas dinâmicas dos gases.

Teoria matemática[editar | editar código-fonte]

Considere o conjunto de equações de conservação :

Onde e são os elementos das matrizes e e e são elementos de vetores. Será perguntando se é possível reescrever essa equação para

Para fazer isso essas curvas serão introduzidas no plano (x,t) definido pelo campo vectorial . O termo em parênteses será reescrito em termos da derivada total x,t são parametrizados como

comparando as duas últimas equações, encontramos

que agora pode ser escrito em forma característica

onde devemos ter as condições

onde pode ser eliminado para dar a condição necessária

portanto, para uma solução não trivial, o determinante é igual a zero

Para os invariantes de Riemann nós estamos preocupados com o caso quando a matriz é uma matriz identidade da forma

observe que isso é homogêneo devido ao vetor ser zero. Na forma característica o sistema é

com

Onde é o vetor próprio esquerdo da matriz e é a velocidade característica dos autovalores que a matriz possui, os quais satisfazem

Para simplificar essas equações características, nós podemos fazer a transformação

que chega a isso

Um fator integrante pode ser multiplicado para ajudar a integrar nesse caso. Assim o sistema agora esta na forma característica

em

que é equivalente ao sistema diagonal Erro de citação: Etiqueta <ref> inválida; refs sem parâmetro de nome devem ter conteúdo associado

A solução deste sistema pode ser dado pelo método holográfico generalizado

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere que a equação de Euler unidimensional escrita em termos de densidade e velocidade é

, sendo a velocidade do som, é introduzido devido à suposição isentrópica. Escreva este sistema em forma de matriz

a partir da análise acima, os valores próprios e os vetores próprios precisam ser encontrados. Os valores próprios são encontrados para satisfazer

para obtermos

e os autovetores são encontrados como

onde os invariantes de Riemman são

( e são as notações amplamente usadas na dinâmica dos gases ). Para o caso de um gás perfeito com aquecimentos específicos constantes, existe a relação , Onde é a razão de calor específica, para dar aos invariantes de Riemann Erro de citação: Etiqueta <ref> inválida; refs sem parâmetro de nome devem ter conteúdo associado Erro de citação: Etiqueta <ref> inválida; refs sem parâmetro de nome devem ter conteúdo associado

para dar as equações

Em outras palavras,

Onde e são curvas características. Isso pode ser resolvido pela transformação holográfica. No plano holográfico, se todas as características colapsam em uma única curva, então nós obtemos uma única onda. Se a forma da matriz do sistema de pde´s está na forma

Então, pode ser possível multiplicar através pela matriz inversa desde que a matriz determinante de não seja zero.

Veja também[editar | editar código-fonte]

  • Onda simples

Referências[editar | editar código-fonte]

Referências