Lei de Biot-Savart

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Ilustração representando os termos envolvidos na Lei de Biot Savart

A Lei de Biot-Savart é uma equação do Eletromagnetismo que fornece o campo magnético \mathbf{B} gerado por uma corrente elétrica \mathbf{I} constante no tempo. Essa equação é válida no domínio da Magnetostática. Podemos dizer que a Lei de Biot-Savart é o ponto de partida para a Magnetostática, tendo assim um papel semelhante à Lei de Coulomb na Eletrostática.1

Motivação histórica[editar | editar código-fonte]

Ilustração esquemática do experimento de Oersted.

Já no século XVII havia, dentro da comunidade científica, a suspeita de que fenômenos elétricos e magnéticos pudessem estar interligados. Isso motivou o físico Hans Christian Oersted a conduzir experimentos para observar o efeito da eletricidade numa agulha magnética. Entre 1819 e 1820, Oersted observou que ao se posicionar um fio condutor de um circuito elétrico fechado paralelamente à agulha, essa sofria uma deflexão significativa em relação à sua direção inicial. Oersted publicou os resultados de seu experimento em julho de 1820, limitando-se a uma descrição qualitativa do fenômeno.

A descoberta de Oersted foi divulgada em setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudiosos na França a repetirem e estenderem seus experimentos. A primeira análise precisa do fenômeno foi publicada pelos físicos Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, os quais conseguiram formular uma lei que descrevia matematicamente o campo magnético produzido por uma distribuição de corrente elétrica.2

A equação[editar | editar código-fonte]

Distribuições unidimensionais[editar | editar código-fonte]

Para distribuições unidimensionais de corrente, a lei de Biot-Savart possui a seguinte forma:

 \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\int \frac{\mathbf{I(r')}\times \mathbf{\hat{\boldsymbol{\eta}}}}{\eta^{2}}dl'

Nessa equação, dl' é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do trajeto da corrente, \mathbf{I} é o vetor corrente elétrica e \hat{\boldsymbol{\eta}} é o versor ao longo da linha que une o elemento infinitesimal de comprimento dl', cuja posição é \mathbf{r'}, ao ponto de cálculo do campo \mathbf{r}:

\hat{\boldsymbol{\eta}}=\frac{\eta}{|\hat{\boldsymbol{\eta}}|}=\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r'}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|},

e a constante \mu_{0} é a chamada permeabilidade magnética do vácuo.

Distribuições bidimensionais[editar | editar código-fonte]

Podemos escrever uma expressão análoga para distribuições bidimensionais de corrente:

 \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\int \frac{\mathbf{K}\mathbf{(r')}\times \mathbf{\hat{\boldsymbol{\eta}}}}{\eta^{2}}da'

Onde \mathbf{K}\mathbf{(r')} é a corrente por unidade de comprimento-perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade superficial de corrente. Escreve-se:

\mathbf{K}\mathbf{(r')} = \frac{d\mathbf{I}}{dl_{\perp}}

Distribuições tridimensionais[editar | editar código-fonte]

Para distribuições tridimensionais de corrente:  \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\int \frac{\mathbf{J(r')}\times \mathbf{\hat{\boldsymbol{\eta}}}}{\eta^{2}}d\tau '

Onde \mathbf{J}\mathbf{(r')} é a corrente por unidade de área-perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade volumétrica de corrente. Escreve-se:

\mathbf{J}\mathbf{(r')} = \frac{d\mathbf{I}}{da_{\perp}}

Notamos também que o elemento infinitesimal de comprimento d\mathbf{l'} deve ser substituído pelo elemento infinitesimal de área d\mathbf{a'} no caso de distribuições de corrente bidimensionais, e pelo elemento infinitesimal de volume d\mathbf{\tau'} no caso de distribuições de corrente tridimensionais. Em todos os casos expostos nessa sessão, as correntes envolvidas são estacionárias.3

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Campo de uma corrente retilínea num fio condutor[editar | editar código-fonte]

Ilustração do problema

Podemos usar a Lei de Biot-Savart para achar o campo magnético que uma corrente estacionária de intensidade I passando por um fio retilíneo infinito causa num ponto P a uma distância R do fio. Pela regra da mão direita vemos que o produto vetorial d\mathbf{l}\times d\mathbf{\hat{r}}, para R fixo, está contido em círculos de raio R em torno do fio. O versor ao longo de tais círculos é representado por \hat{\boldsymbol{\phi}}. Trabalhando em termos do ângulo \theta: dl'\sin\alpha = dl'\cos\theta

Como l'= R\tan\theta: dl'= \frac{R}{\cos^{2}\theta}d\theta

E como R=r\cos\theta: \frac{1}{r^{2}}=\frac{\cos^{2}\theta}{R^{2}}

Para um trecho de fio indo de \theta_1 a \theta_2:

\mathbf{B(r)}=\hat{\boldsymbol{\phi}}\frac{\mu_{0}I}{4\pi }\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\left(\frac{\cos^{2}\theta}{R^{2}}\right)\left(\frac{R}{\cos^{2}\theta}\right)\cos\theta d\theta =\hat{\boldsymbol{\phi}}\frac{\mu_{0}I}{4\pi R }\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\cos\theta d\theta=\frac{\mu_{0}I}{4\pi R }(\sin\theta_{2}-\sin\theta_{1})

Se o fio for infinito, então \theta_{1}=-\frac{\pi}{2} e \theta_{2}=\frac{\pi}{2} e a expressão fica apenas: \mathbf{B}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi R }\hat{\boldsymbol{\phi}} 4

Campo no centro de um polígono de n lados[editar | editar código-fonte]

Geometria de um quadrado

De acordo com o raciocínio empregado anteriormente, o campo gerado no centro de um quadrado por um de seus lados vale: \mathbf{B}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi R }(\sin\theta_{2}-\sin\theta_{1})\mathbf{\hat{z}},

já que o campo gerado por cada lado aponta na direção perpendicular ao plano do quadrado (ou seja, se o quadrado estiver contido no plano xy, o campo apontará na direção de z positivo). Pelo princípio de superposição, o campo gerado pelo quadrado é apenas a soma dos campos gerados por cada um de seus lados: \mathbf{B(\textrm{centro})}=\sqrt{2}\frac{\mu_{0}I}{\pi R}\mathbf{\hat{z}}

onde R é a menor distância do centro do quadrado até um de seus lados. Podemos generalizar esse resultado para um polígono de n lados fazendo \theta_{1}=-\theta_{2}=-\frac{\pi}{n}. Então obtemos: \mathbf{B}=n\frac{\mu_{0}I}{2\pi R }\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \mathbf{\hat z} 3

Campo de uma espira circular no eixo[editar | editar código-fonte]

Campo de uma espira circular

Consideremos uma espira circular de raio R percorrida por uma corrente estacionária de intensidade I. Podemos usar a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético a uma distância z do eixo. Lembrando que:  \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\int \frac{\mathbf{I}\times \mathbf{\hat{\boldsymbol{\eta}}}}{\eta^{2}}dl'

No caso da espira circular:  \eta=\sqrt{z^{2}+R^{2}}

Por questões de simetria, sobre o eixo as componentes do campo paralelas ao plano da espira se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo. Da figura vê-se que: \sin\alpha=\frac{R}{r}=\frac{R}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}

Logo: \mathbf{B}(\text{eixo})=\mathbf{\hat z}\frac{\mu_{0}}{4\pi }I\int\frac{ dl}{\eta^{2}}\sin\alpha  =\mathbf{\hat z}\frac{\mu_{0}}{4\pi}I \frac{R}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}} \int dl=\frac{\mu_{0}}{2}I\frac{R^{2}}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}} \mathbf{\hat z}5

Direção das linhas de campo magnético[editar | editar código-fonte]

Mesmo quando utilizar a Lei de Biot-Savart para calcular o valor do campo numa região não é a estratégia mais eficiente, ela pode nos dar informações sobre a direção das linhas de campo. Para um elemento infinitesimal de corrente, temos:

d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{d\mathbf{l}\times \hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}

que nos diz que em cada ponto, o campo magnético terá a direção do pseudo-vetor d\mathbf{l}\times \hat{\mathbf{r}}, que é dada pela regra da mão direita. Se posicionarmos o polegar na direção de um elemento de corrente e curvarmos nossos dedos de forma a envolvê-lo, obteremos a direção das linhas de campo naquele ponto.5

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Feynman et al. The Feynman Lectures on Physics vol. 2, 2ª ed., editora Bookman, 2008.
  2. Whittaker, E. T, A History of the Theories of Aether and Electricity, 1910.
  3. a b Griffiths, D. J., Eletrodinâmica p. xv, 3a ed Pearson Addison Wesley, 2011.
  4. H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica 3, 1ª ed., editora Blucher.
  5. a b H. D. Young & R. A. Freedman, Física III: Eletromagnetismo, 12ª. ed., editora Pearson, São Paulo, Brasil, 2009.