Lei dos cossenos

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A lei dos cossenos é uma parte da generalização do Teorema de Pitágoras, que pode ser utilizada em situações envolvendo qualquer triângulo, isto é, não necessariamente restritas a triângulos retângulos.[1] Em um triângulo ABC qualquer, para lados opostos aos ângulos internos e com medidas respectivamente e valem as relações:[1]

Demonstração[editar | editar código-fonte]

A seguir algumas maneiras de demonstrar a lei dos cossenos:

Forma Geométrica[editar | editar código-fonte]

Considerando a figura, podemos observar 3 triângulos:[2]

.
Demons cossenos.png

Destes, pode-se extrair as seguintes relações:

e

.

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos para BCD:[2]

e para BAD:

Substituindo:

e

em

teremos:

Entretanto, pode-se substituir a relação , do triângulo , na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

Forma Vetorial[editar | editar código-fonte]

Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: Definimos um vetor como sendo igual a temos um triângulo formado pela soma e o resultante . Sabendo que e sendo o ângulo entre os vetores e temos o seguinte desenvolvimento:

Triângulo formado por vetores

A lei dos cossenos, formulada nesta notação, pode ser escrita como:

Que é claramente equivalente à fórmula acima derivada da teoria dos vetores.

Já que é o ângulo formado entre os vetores e e considerando que o ponto da origem de é o mesmo da origem de , dizemos que esse ponto é A, pois é oposto ao vetor , logo formando um ângulo .

Forma Matricial[editar | editar código-fonte]

Lei dos Cossenos

Da figura, podemos deduzir, a partir da definição de cosseno, as seguintes relações:

Somando as duas equações, como , obtêm-se a relação: . Se fossem traçadas as alturas respectivas a cada lado do triângulo, teríam-se:

Que consistem em um Sistema Linear, cuja solução pode ser dada pela Regra de Cramer, para tanto, temos:

Matriz dos Coeficientes (M):

Matriz não Alterada na Coluna da Varíavel (X):

Assim, é válida a igualdade e, portanto:

= e, analogamente:

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b Marcos Noé. «Lei do cosseno». R7. Brasil Escola. Consultado em 12 de maio de 2013. 
  2. a b Thyago Ribeiro (03 de junho de 2008). «Lei dos Senos e dos Cossenos». InfoEscola. Consultado em 12 de maio de 2013. 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]