Lei zero-um de Kolmogorov

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Em teoria da probabilidade, a lei zero-um de Kolmogorov, nomeada em homenagem a Andrei Kolmogorov, especifica que um certo tipo de evento, chamado de evento de cauda, quase certamente acontecerá ou quase certamente não acontecerá, isto é, a probabilidade de que este evento aconteça é ou .[1]

Eventos de cauda são definidos em termos de sequências infinitas de variáveis aleatórias. Suponha que

seja uma sequência infinita de variáveis aleatórias independentes (não necessariamente distribuídas identicamente). Considere a σ-álgebra gerada por . Então, o evento de cauda é um evento probabilisticamente independente de cada subconjunto finito destas variáveis aleatórias. Note que a pertinência de a implica que a pertinência a é unicamente determinada pelos valores de , mas que a última condição é estritamente mais fraca e insuficiente para provar a lei zero-um. Por exemplo, o evento para o qual a sequência converge e o evento para o qual sua soma converge são ambos eventos de cauda. Em um sequência infinita de cara ou coroa, uma sequência de 100 caras consecutivas ocorrendo infinitamente muitas vezes é um evento de cauda.[2]

Em muitas situações, pode ser fácil aplicar a lei zero-um de Kolmogorov para mostrar que um evento tem probabilidade ou , mas surpreendentemente difícil determinar qual destes dois valores extremos é o correto.

Formulação[editar | editar código-fonte]

Uma afirmação mais generalizada da lei zero-um de Kolmogorov se aplica a sequências de σ-álgebras independentes. Considere um espaço de probabilidade e uma sequência de sigmas-álgebras mutuamente independentes contida em . Considere

a menor σ-álgebra contendo , n+1, …. Então, a lei zero-um de Kolmogorov afirma que para qualquer evento

haverá ou .[3]

A afirmação da lei em termos de variáveis aleatórias é obtida a partir da última ao considerar cada a σ-álgebra gerada pela variável aleatória . Então, um evento de cauda é, por definição, um evento mensurável no que diz respeito às σ-álgebras gerada por todos os , mas independente de qualquer número finito de . Isto é, um evento de cauda é precisamente um elemento da intersecção .

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Uma transformação inversível que preserve a medida em um espaço de probabilidade padrão (também chamado de espaço de probabilidade de Lebesgue-Rokhlin) e que obedeça a lei zero-um é chamada de automorfismo de Kolmogorov. Todos os automorfismos de Bernoulli são automorfismos de Kolmogorov, mas nem todo automorfismo de Kolmogorov é um automorfismo de Bernoulli.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Stroock, Daniel W. (31 de dezembro de 2010). Probability Theory: An Analytic View (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9781139494618 
  2. Brzezniak, Zdzislaw; Zastawniak, Tomasz (26 de julho de 2000). Basic Stochastic Processes: A Course Through Exercises (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540761754 
  3. Rosenthal, Jeffrey S. (1 de janeiro de 2000). A First Look at Rigorous Probability Theory (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 9789810243227 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]