Lema de Grönwall

Em matemática, o lema de Grönwall estabelece uma importante estimativa aplicável à desigualdade envolvendo derivadas ou integrais. Existem duas versões do lema, a integral e a diferencial.

O Lema de Grönwall é uma ferramenta usada para obter variadas estimativas em equações diferenciais ordinárias.

Em particular, é usado para provar a unicidade de uma solução para o valor inicial do problema (como no Teorema de Picard-Lindelöf).

O Lema de Grönwall é nomeado a partir de Thomas Hakon Grönwall (1877-1932).

Índice

Se, para $t_{0}\leq t\leq t_{1}$ , $\phi (t)\geq 0$ e $\psi (t)\geq 0$ são funções contínuas tais que a desigualdade

\phi (t)\leq K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s

se mantenha em $t_{0}\leq t\leq t_{1}$ , com $K$ e $L$ sendo constantes positivas, então

\phi (t)\leq K\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\,\mathrm {d} s\right)

sendo $t_{0}\leq t\leq t_{1}.$

É fácil ver que:

{\frac {\phi (t)}{K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s}}\leq 1

definindo $u(t):=K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s$ , temos:

{\frac {u'}{u}}\leq L\psi (s)

Integrando entre $t_{0}\,$ e $t\,$ , obtemos:

\ln u-\ln u(t_{0})\leq L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)ds

Usando exponenciais:

u(t)\leq u(t_{0})\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)ds\right)

como $u(t_{0})=K\,$ e $\phi (t)\leq u(t)\,$ , vale:

\phi (t)\leq K\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)ds\right)

Seja $u(t)\,$ uma função não negativa e diferenciável em $[0,T]\,$ , que satisfaz:

u'(t)\leq f(t)u(t)+g(t)\,

, onde

f(t)\,

e

g(t)\,

são funções integráveis em [0,T].

Então:

$u(t)\leq u(0)e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }+\int _{0}^{t}g(s)e^{\int _{s}^{t}f(\tau )d\tau }ds,~\forall t\in [0,T]\,$

Se $f(t)\,$ e $g(t)\,$ forem não negativas, então a expressão se simplifica a:

u(t)\leq e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\left[u(0)+\int _{0}^{t}g(s)ds\right],\forall t\in [0,T]\,

Basta multiplicar a expressão pelo fator integrante $e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\,$ e rearranjar os termos:

\left(u(t)e^{-\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\right)'\leq g(t)e^{-\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\,

Integra-se de 0 a t:

u(t)e^{-\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }-u(0)\leq \int _{0}^{t}g(s)e^{-\int _{0}^{s}f(\tau )d\tau }ds\,

u(t)\leq e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\left[u(0)+\int _{0}^{t}g(s)e^{\int _{s}^{t}f(\tau )d\tau }ds\right]\,

v d e Equações diferenciais
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