Lema de Grönwall

Em matemática, o lema de Grönwall estabelece uma importante estimativa aplicável à desigualdade envolvendo derivadas ou integrais. Existem duas versões do lema, a integral e a diferencial.

O Lema de Grönwall é uma ferramenta usada para obter variadas estimativas em equações diferenciais ordinárias.

Em particular, é usado para provar a unicidade de uma solução para o valor inicial do problema (como no Teorema de Picard-Lindelöf).

O Lema de Grönwall é nomeado a partir de Thomas Hakon Grönwall (1877-1932).

Versão Integral

Se, para $t_{0}\leq t\leq t_{1}$$t_{0}\leq t\leq t_{1}$, $\phi (t)\geq 0$$\phi (t)\geq 0$ e $\psi (t)\geq 0$$\psi (t)\geq 0$ são funções contínuas tais que a desigualdade

$\phi (t)\leq K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s$$\phi (t)\leq K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s$

se mantenha em $t_{0}\leq t\leq t_{1}$$t_{0}\leq t\leq t_{1}$, com $K$$K$ e $L$$L$ sendo constantes positivas, então

$\phi (t)\leq K\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\,\mathrm {d} s\right)$$\phi (t)\leq K\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\,\mathrm {d} s\right)$

sendo $t_{0}\leq t\leq t_{1}.$$t_{0}\leq t\leq t_{1}.$

Demonstração

É fácil ver que:

${\frac {\phi (t)}{K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s}}\leq 1$${\frac {\phi (t)}{K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s}}\leq 1$

definindo $u(t):=K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s$$u(t):=K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s$, temos:

${\frac {u'}{u}}\leq L\psi (s)$${\frac {u'}{u}}\leq L\psi (s)$

Integrando entre $t_{0}\,$$t_{0}\,$ e $t\,$$t\,$, obtemos:

$\ln u-\ln u(t_{0})\leq L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)ds$$\ln u-\ln u(t_{0})\leq L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)ds$

Usando exponenciais:

$u(t)\leq u(t_{0})\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)ds\right)$$u(t)\leq u(t_{0})\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)ds\right)$

como $u(t_{0})=K\,$$u(t_{0})=K\,$ e $\phi (t)\leq u(t)\,$$\phi (t)\leq u(t)\,$, vale:

$\phi (t)\leq K\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)ds\right)$$\phi (t)\leq K\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)ds\right)$

Versão Diferencial

Seja $u(t)\,$$u(t)\,$ uma função não negativa e diferenciável em $[0,T]\,$$[0,T]\,$, que satisfaz:

$u'(t)\leq f(t)u(t)+g(t)\,$$u'(t)\leq f(t)u(t)+g(t)\,$, onde $f(t)\,$$f(t)\,$ e $g(t)\,$$g(t)\,$ são funções integráveis em [0,T].

Então:

• $u(t)\leq u(0)e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }+\int _{0}^{t}g(s)e^{\int _{s}^{t}f(\tau )d\tau }ds,~\forall t\in [0,T]\,$$u(t)\leq u(0)e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }+\int _{0}^{t}g(s)e^{\int _{s}^{t}f(\tau )d\tau }ds,~\forall t\in [0,T]\,$

Se $f(t)\,$$f(t)\,$ e $g(t)\,$$g(t)\,$ forem não negativas, então a expressão se simplifica a:

$u(t)\leq e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\left[u(0)+\int _{0}^{t}g(s)ds\right],\forall t\in [0,T]\,$$u(t)\leq e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\left[u(0)+\int _{0}^{t}g(s)ds\right],\forall t\in [0,T]\,$

Demonstração

Basta multiplicar a expressão pelo fator integrante $e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\,$$e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\,$ e rearranjar os termos:

$\left(u(t)e^{-\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\right)'\leq g(t)e^{-\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\,$$\left(u(t)e^{-\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\right)'\leq g(t)e^{-\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\,$

Integra-se de 0 a t:

$u(t)e^{-\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }-u(0)\leq \int _{0}^{t}g(s)e^{-\int _{0}^{s}f(\tau )d\tau }ds\,$$u(t)e^{-\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }-u(0)\leq \int _{0}^{t}g(s)e^{-\int _{0}^{s}f(\tau )d\tau }ds\,$

$u(t)\leq e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\left[u(0)+\int _{0}^{t}g(s)e^{\int _{s}^{t}f(\tau )d\tau }ds\right]\,$$u(t)\leq e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\left[u(0)+\int _{0}^{t}g(s)e^{\int _{s}^{t}f(\tau )d\tau }ds\right]\,$