Lema de Grönwall

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Em matemática, o lema de Grönwall estabelece uma importante estimativa aplicável à desigualdade envolvendo derivadas ou integrais. Existem duas versões do lema, a integral e a diferencial.

O Lema de Grönwall é uma ferramenta usada para obter variadas estimativas em equações diferenciais ordinárias.

Em particular, é usado para provar a unicidade de uma solução para o valor inicial do problema (como no Teorema de Picard-Lindelöf).

O Lema de Grönwall é nomeado a partir de Thomas Hakon Grönwall (1877-1932).

Versão Integral[editar | editar código-fonte]

Se, para , e são funções contínuas tais que a desigualdade

se mantenha em , com e sendo constantes positivas, então

sendo

Demonstração[editar | editar código-fonte]

É fácil ver que:

definindo , temos:

Integrando entre e , obtemos:

Usando exponenciais:

como e , vale:

Versão Diferencial[editar | editar código-fonte]

Seja uma função não negativa e diferenciável em , que satisfaz:

, onde e são funções integráveis em [0,T].

Então:

Se e forem não negativas, então a expressão se simplifica a:

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Basta multiplicar a expressão pelo fator integrante e rearranjar os termos:

Integra-se de 0 a t: