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Em matemática, o lema de Grönwall estabelece uma importante estimativa aplicável à desigualdade envolvendo derivadas ou integrais. Existem duas versões do lema, a integral e a diferencial.
O Lema de Grönwall é uma ferramenta usada para obter variadas estimativas em equações diferenciais ordinárias.
Em particular, é usado para provar a unicidade de uma solução para o valor inicial do problema (como no Teorema de Picard-Lindelöf).
O Lema de Grönwall é nomeado a partir de Thomas Hakon Grönwall (1877-1932).
Se, para
,
e
são funções contínuas tais que a desigualdade

se mantenha em
, com
e
sendo constantes positivas, então

sendo
É fácil ver que:

definindo
, temos:

Integrando entre
e
, obtemos:

Usando exponenciais:

como
e
, vale:

Seja
uma função não negativa e diferenciável em
, que satisfaz:
, onde
e
são funções integráveis em [0,T].
Então:
![{\displaystyle u(t)\leq u(0)e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }+\int _{0}^{t}g(s)e^{\int _{s}^{t}f(\tau )d\tau }ds,~\forall t\in [0,T]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe341437dbcde4dd4733627c1a85d26949d826d)
Se
e
forem não negativas, então a expressão se simplifica a:
![{\displaystyle u(t)\leq e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\left[u(0)+\int _{0}^{t}g(s)ds\right],\forall t\in [0,T]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/debb3f945cedd44cb20688eaea41e00ddc3613d5)
Basta multiplicar a expressão pelo fator integrante
e rearranjar os termos:

Integra-se de 0 a t:

![{\displaystyle u(t)\leq e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\left[u(0)+\int _{0}^{t}g(s)e^{\int _{s}^{t}f(\tau )d\tau }ds\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62634c109501921bc85816aa01b4603721316e2d)