Lema de Itō

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Em matemática, o lema de Itō é usado no cálculo estocástico de Itō para encontrar a diferencial de uma função de um tipo particular de processo estocástico. Ele foi desenvolvido pelo matemático japonês Kiyoshi Itō. É o análogo da regra da cadeia do cálculo comum para o cálculo estocástico, e é melhor memorizado a partir da expansão com séries de Taylor separando o termo de segunda ordem relacionado à mudança na componente estocástica. O lema é amplamente aplicado na área de finanças matemáticas, e seu uso mais conhecido é na demonstração da equação de Black-Scholes, utilizada para precificar opções.

Processos de tendência-difusão (drift-diffusion) de Itō[editar | editar código-fonte]

Em sua forma mais simples, o lema de Itō afirma que para um processo de tendência-difusão de Itō

 dX_t= \sigma_t\,dB_t + \mu_t\,dt

onde dB_t é a diferencial do movimento Browniano, então para qualquer função duplamente e continuamente diferenciável f nos números reais & t


\dot{f}(t,x)=\frac{\partial f}{\partial t}(t,x),\quad f'(t,x)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x),\quad f''(t,x)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(t,x).

Então pelo lema de Itō:


\begin{align}
df(t,X_t)&=\dot{f}(t,X_t)\,dt+f'(t,X_t)\,dX_t+\frac{1}{2}f''(t,X_t)\sigma^2_t\,dt,\\
&=\dot{f}(t,X_t)\,dt+f'(t,X_t)(\mu_t\,dt + \sigma_t\,dB_t)+\frac{1}{2}f''(t,X_t)\sigma^2_t\,dt,\quad\mbox{rearranjando os termos}\\
&=\left(\dot{f}(t,X_t)+\mu_tf'(t,X_t)+\frac{\sigma_t^2}{2}f''(t,X_t)\right)dt+f'(t,X_t)\sigma_t\,dB_t
\end{align}

Num espaço multi-dimensional,


df\left(t,X_{t}\right)=f_{t}\left(t,X_{t}\right)dt+\nabla_{X_{t}}^{T}f\cdot dX_{t}+\frac{1}{2}dX^{T}_{t}\cdot\nabla_{X_{t}}^{2}f\cdot dX_{t}

onde X_{t}=\left(X_{t,1},X_{t,2},\cdots,X_{t,n}\right)^{T} é um vetor do processo de Itō, \dot{f}_{t}\left(t,X\right) é a diferencial parcial com relação a t, \nabla_{X}^{T}f é o gradiente de f com relação a X, e \nabla_{X}^{2}f é a matriz Hessiana de f com relação a X.

Demonstração informal[editar | editar código-fonte]

Uma prova do lema requer tomar o limite de uma sequência de variáveis aleatórias, o que não é feito aqui. Apesar disso, é possível derivar o lema de Itō expandindo uma série de Taylor e aplicando as regras do cálculo estocástico.

Assumindo que o processo de Itō é na forma

 dx= a\,dt + b\,dB.\!

Expandindo f(x, t) numa série de Taylor em x e t, vem

 df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial t}\,dt + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\,dx^2 + \cdots

e substituindo a dt + b dB por dx vem

 df = \frac{\partial f}{\partial x}(a\,dt + b\,dB) + \frac{\partial f}{\partial t}\,dt + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a^2\,dt^2 + 2ab\,dt\,dB + b^2\,dB^2) + \ldots.

Neste ponto é preciso reter apenas os termos na ordem de dt e dB, desprezando os termos de ordem superior. O termo dB2 tende para dt. Isto pode ser provado mostrando que

 dB^2 \rightarrow E(dB^2), uma vez que  E(dB^2) = dt. \,

Entretanto, a prova desta propriedade estatística está além do escopo deste artigo.

Os termos dt2 e dt dB desaparecem, pois tem ordem superior a dt (respectivamente, 2 e 1,5).

Removendo os termos dt2 e dt dB, substituindo dt em dB2, e coletando dt e dB obtém-se

 df = \left(a\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}b^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)dt + b\frac{\partial f}{\partial x}\,dB

como desejado.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Movimento Browniano Geométrico[editar | editar código-fonte]

Um processo S segue um movimento Browniano geométrico com volatilidade σ e tendência μ se satisfaz a equação diferencial estocástica dS = S(σdB + μdt), para um movimento Browniano B. Aplicando o lema de Itō com f(S) = log(S) vem


\begin{align}
d\log(S) &= f^\prime(S)\,dS + \frac{1}{2}f^{\prime\prime}(S)S^2\sigma^2\,dt \\
&= \frac{1}{S}\left( \sigma S\,dB + \mu S\,dt\right) - \frac{1}{2}\sigma^2\,dt \\
&= \sigma\,dB +(\mu-\sigma^2/2)\,dt.
\end{align}

Segue que log(St) = log(S0) + σBt + (μ - σ2/2)t, e tomando a exponencial chega-se a uma expressão para S,

S_t=S_0\exp\left(\sigma B_t+(\mu-\sigma^2/2)t\right).

Fórmula de Black-Scholes[editar | editar código-fonte]

O lema de Itō pode ser utilizado para derivar a fórmula de Black-Scholes para uma opção. Supondo que o preço de uma ação segue um movimento Browniano geométrico dado pela equação diferencial estocástica dS = S(σdB + μdt). Entao, se o valor de uma opção no tempo t é f(t,St), o lema de Itō retorna

df(t,S_t) = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\left(S_t\sigma\right)^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)\,dt +\frac{\partial f}{\partial S}\,dS_t.

O termo (∂f/∂SdS representa a variação no valor no tempo dt da estratégia de negociação consistindo em manter em carteira uma quantidade ∂f/∂S da ação. Seguinto essa estratégia, e considerando que qualquer quantidade de dinheiro mantida é remunerada à taxa livre de risco r, então o valor total V deste portfolio satisfaz a EDE

 dV_t = r\left(V_t-\frac{\partial f}{\partial S}S_t\right)\,dt + \frac{\partial f}{\partial S}\,dS_t.

Esta estratégia replica a opção se V = f(t,S). A combinação dessas equações resulta na famosa equação de Black-Scholes

\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} + rS\frac{\partial f}{\partial S}-rf = 0.

Referências gerais[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]