Lema de Itō

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Em matemática, o lema de Itō é uma identidade usada em cálculo de Itō para encontrar a diferencial de uma função dependente do tempo de um processo estocástico. É o análogo em cálculo estocástico da regra da cadeia do cálculo comum. Pode ser heuristicamente derivado ao formar a expansão da série de Taylor de uma função, separando suas derivadas de segunda ordem e retendo termos até a primeira ordem no incremento do tempo e a segunda ordem no incremento de processo de Wiener. O lema é amplamente empregado em matemática financeira e sua aplicação mais conhecida é a derivação da equação de Black-Scholes para valores de opção.

O lema de Itō, que recebe este nome em homenagem a Kiyoshi Itō, é ocasionalmente referido como o teorema de Itō-Doeblin em reconhecimento ao trabalho postumamente descoberto de Wolfgang Doeblin.[1]

Enquanto o lema de Itō foi provado por Kiyoshi Itō, o teorema de Itō, um resultado em teoria dos grupos, recebe este nome devido a Noboru Itō.[2]

Derivação informal[editar | editar código-fonte]

Uma prova formal do lema se baseia em tomar o limite de uma sequência de variáveis aleatórias.[3] Esta abordagem não é apresentada aqui, já que envolve uma série de detalhes técnicos. Em vez disto, segue abaixo um esboço de como se pode derivar o lema de Itō ao expandir uma série de Taylor e aplicar as regras do cálculo estocástico.

Considere Xt um processo de tendência-difusão de Itō que satisfaz à equação diferencial estocástica

em que Bt é um processo de Wiener. Se f(t,x) for uma função escalar duplamente diferenciável, sua expansão em uma série de Taylor é

Substituindo Xt por x e μtdt + σtdBt por dx temos

No limite dt → 0, os termos dt2 e dt dBt tendem a zero mais rapidamente que dB2, que é O(dt). Configurando os termos dt2 e dt dBt a zero, substituindo dt por dB2 e coletando os termos dt e dB, obtemos

como exigido.

Formulação matemática do lema de Itō[editar | editar código-fonte]

Nas subseções seguintes, são discutidas versões de lema de Itō para diferentes tipos de processos escolásticos.[4]

Processos de tendência-difusão (drift-diffusion) de Itō[editar | editar código-fonte]

Em sua forma mais simples, o lema de Itō afirma que, para um processo de tendência-difusão de Itō[5]

em que  é a diferencial do movimento Browniano. Para qualquer função escalar duplamente diferenciável f(t,x) de duas variáveis reais t e x, tem-se

Isto imediatamente implica que f(t,Xt) é um processo de tendência-difusão de Itō.

Em dimensões mais elevadas, se é um vetor de processo de Itō,[6] tal que

para um vetor e uma matriz , o lema de Itō afirma então que

em que X f é o gradiente de f em relação a X, HX f é a matriz hessiana de f em relação a X, e Tr é o operador traço.

Processo de salto de Poisson[editar | editar código-fonte]

Também é possível definir funções relativas a processos estocásticos descontínuos.[7]

Considere h a densidade do salto. O modelo de processo de Poisson para saltos diz que a probabilidade de um salto no intervalo [t, t + Δt] é hΔt mais termos de ordem mais elevada. h pode ser uma constante, uma função determinística do tempo ou um processo estocástico. A probabilidade de sobrevivência ps(t) é a probabilidade de que nenhum salto ocorra no intervalo [0, t]. A mudança na probabilidade de sobrevivência é

Então

Considere S(t) um processo estocástico descontínuo. é o valor de conforme se aproxima a partir da esquerda. é a mudança não infinitesimal em S(t) como um resultado de um salto. Então

Considere a magnitude do salto e a distribuição de probabilidade de . A magnitude esperada do salto é

Defina , um processo compensado e martingale, como

Então

Considere uma função do processo de salto dS(t). Se S(t) salta Δs, então g(t) salta Δg. Δg é tirado da distribuição que pode depender de , dg e . A parte de salto de é

Se contém tendência, difusão e salto, então o lema de Itō para é

O lema de Itō para um processo que é a soma de processo de tendência-difusão e um processo de salto é simplesmente a soma do lema de Itō para as partes individuais.

Semimartingales não contínuos[editar | editar código-fonte]

O lema de Itō também pode ser aplicado a semimartingales gerais de dimensões, que não precisam ser contínuos.[8] Em geral, um semimartingale é um processo càdlàg e um termo adicional precisa ser adicionado à fórmula para garantir que os saltos do processo estejam corretamente dados pelo lema de Itō. Para qualquer processo càdlàg Yt, o limite à esquerda em é denotado por Yt−, que é um processo contínuo à esquerda. Os saltos são escritos como ΔYt = YtYt−. Então, o lema de Itō afirma que, se X = (X1, X2, ..., Xd) for um semimartingale de dimensões e for uma função de valores reais duplamente e continuamente diferenciável em Rd, então, é um semimartingale e

Isto difere da fórmula para semimartingales contínuos pelo termo adicional somando ao longo dos saltos de , garantindo que o salto do lado direito no tempo seja .

Processos de salto não contínuos múltiplos[editar | editar código-fonte]

Também há uma versão disto para um função duplamente e continuamente diferenciável no espaço e unicamente diferenciável no tempo avaliado em semimartingales (potencialmente diferentes) não contínuos que pode ser escrita da seguinte forma:

Em que denota a parte contínua do -ésimo semimartingale.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Movimento browniano geométrico[editar | editar código-fonte]

Um processo segue um movimento browniano geométrico com volatilidade constante e deriva constante se satisfizer à equação diferencial estocástica dS = S(σdB + μdt) para um movimento browniano . Aplicando-se o lema de Itō com , temos

Segue-se disto

e a exponenciação dá para a expressão

O tempo de correção de σ22 corresponde à diferença entre a mediana e a média da distribuição log-normal ou, equivalentemente a esta distribuição, a média geométrica e a média aritmética, sendo a mediana (média geométrica) mais baixa. Isto se deve à desigualdade das médias e corresponde ao logaritmo sendo convexo para baixo, então o termo de correção pode, portanto, ser interpretado como uma correção de convexidade. Isto é uma versão infinitesimal do fato de que o retorno anualizado é menor que o retorno médio, sendo diferença proporcional à variância.

O mesmo fator de σ22 aparece nas variáveis auxiliares e da fórmula de Black-Scholes e pode ser interpretado como uma consequência do lema de Itō.

Exponencial de Doléans-Dade[editar | editar código-fonte]

O exponencial de Doléans-Dade (ou exponencial estocástico) de um semimartingale contínuo pode ser definido como a solução da equação diferencial estocástica dY = Y dX com condição inicial Y0 = 1. É às vezes denotado como Ɛ(X). Aplicando-se o lema de Itō com , temos

A exponenciação dá a solução

Fórmula de Black-Scholes[editar | editar código-fonte]

O lema de Itō pode ser usado para derivar a fórmula de Black-Scholes para uma opção.[9] Suponha que o preço de uma ação segue um movimento browniano geométrico dado pela equação diferencial estocástica dS = S(σdB + μ dt). Então, se o valor de uma opção no tempo  for , o lema de Itō dá

O termo  representa a variação no valor no tempo  da estratégia de negociação que consiste em manter em carteira uma quantidade  da ação. Seguindo essa estratégia e considerando que qualquer quantidade de dinheiro mantida é remunerada à taxa livre de risco , então o valor total  deste portfólio satisfaz à equação diferencial estocástica

Esta estratégia replica a opção se . A combinação destas equações resulta na famosa equação de Black-Scholes

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Bru, Bernard; Yor, Marc (1 de janeiro de 2002). «Comments on the life and mathematical legacy of Wolfgang Doeblin». Finance and Stochastics (em inglês). 6 (1): 3–47. ISSN 0949-2984. doi:10.1007/s780-002-8399-0 
  2. W., Weisstein, Eric. «Ito's Lemma». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 11 de maio de 2017 
  3. «Ito's Lemma and its Derivation». www.sjsu.edu. Consultado em 11 de maio de 2017 
  4. Itô, Kiyosi (1 de janeiro de 1944). «Stochastic integral». Proceedings of the Imperial Academy (em inglês). 20 (8): 519–524. ISSN 0369-9846. doi:10.3792/pia/1195572786 
  5. Memoris Of The American Mathematical Society; No 4 (1 de janeiro de 1951). On Stochastic Differential Equations. [S.l.]: American Mathematical Society 
  6. Kleinert, Hagen (1 de janeiro de 2009). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 9789814273558 
  7. Tavella, Domingo (7 de abril de 2003). Quantitative Methods in Derivatives Pricing: An Introduction to Computational Finance (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9780471274797 
  8. Øksendal, Bernt (9 de novembro de 2010). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642143946 
  9. «previous topic». www.ftsmodules.com. Consultado em 11 de maio de 2017