Lema de Itō

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Em matemática, o lema de Itō é usado no cálculo estocástico de Itō para encontrar a diferencial de uma função de um tipo particular de processo estocástico. Ele foi desenvolvido pelo matemático japonês Kiyoshi Itō. É o análogo da regra da cadeia do cálculo comum para o cálculo estocástico, e é melhor memorizado a partir da expansão com séries de Taylor separando o termo de segunda ordem relacionado à mudança na componente estocástica. O lema é amplamente aplicado na área de finanças matemáticas, e seu uso mais conhecido é na demonstração da equação de Black-Scholes, utilizada para precificar opções.

Processos de tendência-difusão (drift-diffusion) de Itō[editar | editar código-fonte]

Em sua forma mais simples, o lema de Itō afirma que para um processo de tendência-difusão de Itō

onde é a diferencial do movimento Browniano, então para qualquer função duplamente e continuamente diferenciável f nos números reais & t

Então pelo lema de Itō:

Num espaço multi-dimensional,

onde é um vetor do processo de Itō, é a diferencial parcial com relação a t, é o gradiente de f com relação a X, e é a matriz Hessiana de f com relação a X.

Demonstração informal[editar | editar código-fonte]

Uma prova do lema requer tomar o limite de uma sequência de variáveis aleatórias, o que não é feito aqui. Apesar disso, é possível derivar o lema de Itō expandindo uma série de Taylor e aplicando as regras do cálculo estocástico.

Assumindo que o processo de Itō é na forma

Expandindo f(x, t) numa série de Taylor em x e t, vem

e substituindo a dt + b dB por dx vem

Neste ponto é preciso reter apenas os termos na ordem de dt e dB, desprezando os termos de ordem superior. O termo dB2 tende para dt. Isto pode ser provado mostrando que

uma vez que

Entretanto, a prova desta propriedade estatística está além do escopo deste artigo.

Os termos dt2 e dt dB desaparecem, pois tem ordem superior a dt (respectivamente, 2 e 1,5).

Removendo os termos dt2 e dt dB, substituindo dt em dB2, e coletando dt e dB obtém-se

como desejado.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Movimento Browniano Geométrico[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Movimento Browniano Geométrico

Um processo S segue um movimento Browniano geométrico com volatilidade σ e tendência μ se satisfaz a equação diferencial estocástica dS = S(σdB + μdt), para um movimento Browniano B. Aplicando o lema de Itō com f(S) = log(S) vem

Segue que log(St) = log(S0) + σBt + (μ - σ2/2)t, e tomando a exponencial chega-se a uma expressão para S,

Fórmula de Black-Scholes[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Black-Scholes

O lema de Itō pode ser utilizado para derivar a fórmula de Black-Scholes para uma opção. Supondo que o preço de uma ação segue um movimento Browniano geométrico dado pela equação diferencial estocástica dS = S(σdB + μdt). Entao, se o valor de uma opção no tempo t é f(t,St), o lema de Itō retorna

O termo (∂f/∂SdS representa a variação no valor no tempo dt da estratégia de negociação consistindo em manter em carteira uma quantidade ∂f/∂S da ação. Seguinto essa estratégia, e considerando que qualquer quantidade de dinheiro mantida é remunerada à taxa livre de risco r, então o valor total V deste portfolio satisfaz a EDE

Esta estratégia replica a opção se V = f(t,S). A combinação dessas equações resulta na famosa equação de Black-Scholes

Referências gerais[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]