Lema de Urysohn

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O lema de Urysohn é um importante resultado em matemática, mais especificamente em topologia; demonstrado pela primeira vez pelo matemático russo Pavel Samuilovich Urysohn, afirma que se um espaço topológico é normal, então quaisquer fechados disjuntos em tais espaços podem ser separados por uma função.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

O enunciado do Lema de Urysohn, provado pelo próprio em 1925, diz que se é um espaço topológico normal; dados os -fechados e disjuntos , existe uma função contínua tal que e . Tal função é chamada função de Urysohn

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Considere o conjunto dos racionais em , isto é

Dados os fechados e , definimos uma seqüência de abertos indexados em tais que

sempre que , para quaisquer . Para isso, tome o aberto . Como é normal, existe um aberto tal que

Defina . Tome , temos que . Portanto podemos escolher um -aberto tal que

Assim, seja e tome e . Assim, novamente pela normalidade do espaço, podemos escolher um -aberto tal que

Procedemos, analogamente, por indução. Suponha, pelo bem da demonstração, que já estejam escolhidos os -abertos , para algum . Tome e defina e . Podemos, portanto, escolher um -aberto tal que

Assim procedemos até o primeiro ordinal transfinito . Com isso, dispondo da família tal como acima, defina dada por

É evidente que é contínua já que os intervalos do tipo e , com formam uma sub-base de com a topologia de subspaço; temos, também, que e , o que conclui a demonstração.

A recíproca do lema de Urysohn também é válida; com efeito, tomemos os -abertos

Temos que

Observação[editar | editar código-fonte]

Deve estar claro ao leitor que o passo da atribuição de um racional ao aberto, que satifaça a relação de inclusão, é feito mediante a admissão do Princípio da Escolha Dependente. Temos também que o Lema de Urysohn é não-demonstrável em ZF [1] , mas é demonstrável em ZF + DC.

Vale salientar que a função de Urysohn depende dos fechados e .

Ver Também[editar | editar código-fonte]

Teorema da Extensão de Tietze-Urysohn

Espaço Normal

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN-10: 3885380064.
  • Pavel Urysohn, Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen, Mathematische Annalen, vol. 94 (1925), pp. 262-308.
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