Lema fundamental de teoria dos crivos

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Em teoria dos números, especificamente em teoria dos crivos, o lema fundamental de teoria de crivos é um de vários resultados que sistematizam o processo de aplicar métodos de crivagem a problemas particulares. Halberstam e Richert [1] asseguram:

Un fato curioso npublicaa literatura dos métodos de crivagem, é que bem se usa frequentemente o Brun, tendo poucos intentos de formular um teorema geral de Brun (tal como o teorema 2.1); como resultado, existem demasiados trabalhos surpreendentes os quais repetem-se en considerável detalhe nos passos dos argumentos de Brun.


Diamond e Halberstam[2] atribuíram a terminologia Lema Fundamental a Jonas Kubilius.

Notação Comum[editar | editar código-fonte]

Usaremos a seguinte notação:

  • A é um conjunto de X inteiros positivos, isto é |A|=X, e Ad é o subconjunto de A de inteiros divisíveis por d.
  • w(d) e Rd são funções de A e de d que estimam o número de elementos de A que são divisíveis por d, de acordo com a fórmula
Logo w(d) / d representa uma densidade aproximada de membros divisíveis por d, e Rd representa um erro ou término de resíduo.
  • P é um conjunto de primos, e P(z) é o produto dos elementos deste que são menores ou iguais a z
  • S(A, P, z) é o número de elementos de A que não são divisíveis por qualquer primo em P isto é ≤ z
  • κ é uma constante, chamada densidade discriminadora,[3] que aparece nas hipóteses anteriores . Esta medida de peso é uma média ponderada do número de classes residuais afastadas por cada primo.

Lema fundamental do crivo combinatório[editar | editar código-fonte]

Esta formulação é de Tenenbaum.[4] Outras formulações em Halberstam e Richert,[1] en Greaves,[3] e en Friedlander e Iwaniec.[5] Consideremos as seguinte hipóteses :

  • w(d) é una função multiplicativa.
  • a densidade discriminadora κ satisface, para alguma constante C e qualquer par de números reais η e ξ com 2 ≤ η ≤ ξ:

Existe um parâmetro u ≥ 1 isto é, a nossa disposição. Temos uniformente em A, X, z, e u que

Para certas aplicações fixamos u de maneira que obtemos o melhor término de erro possível. No crivo isto representa o número de níveis no princípio de inclusão-exclusão.

Lema fundamental para o crivo de Selberg[editar | editar código-fonte]

Esta formulação viene de Halberstam e Richert.[1] outra formulação encontra-se em Diamond e Halberstam.[2]

Considere as hipóteses :

  • w(d) é una função multiplicativa.
  • a densidade discriminadora κ satisfaz, para alguma constante C e para qualquer par de números reais η e ξ con 2 ≤ η ≤ ξ:
  • w(p) / p < 1 - c para algum número pequeno fixo c e todo p
  • | Rd | ≤ ω(d) onde ω(d) é o número de distintos divisores primos de d.

O lema fundamental tem ao menos a mesma forma que a do crivo combinatório. Tomando u = ln X / ln z. a conclusão é:

Note que u não é um parâmetro pequeno a nossa disposição, mas é controlada pela variável z, a qual encontra-se a nossa disposição.

Note que o término de erro é mais débil que o término existente no lema fundamental do crivo combinatório. Halberstam e Richert asseguram:[1] "Logo não é certo dizer, como se tem assegurado na literatura (matemática) pelos tempos dos tempos, que o crivo de Selberg é sempre melhor que o de Brun."

Referências

  1. a b c d Halberstam, Heini; H. -E. Richert. Sieve Methods. [S.l.]: Academic Press. ISBN 0123182506  Parâmetro desconhecido |ubicação= ignorado (ajuda); Parâmetro desconhecido |anho= ignorado (ajuda); Parâmetro desconhecido |enlaceautor= ignorado (|autorlink=) sugerido (ajuda)
  2. a b Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini. A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions. Col: Cambridge Tracts in Mathematics. 177. With William F. Galway. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9780521894876  Parâmetro desconhecido |anho= ignorado (ajuda); Parâmetro desconhecido |ubicação= ignorado (ajuda); Parâmetro desconhecido |enlaceautor2= ignorado (ajuda)
  3. a b Greaves, George. Sieves in Number Theory. [S.l.]: Springer. ISBN 3540416471  Parâmetro desconhecido |anho= ignorado (ajuda); Parâmetro desconhecido |ubicação= ignorado (ajuda)
  4. Tenenbaum, Gérald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0521412617  Parâmetro desconhecido |ubicação= ignorado (ajuda)
  5. Friedlander, John; Henryk Iwaniec. «On Bombieri's asymptotic sieve». Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa; Classe di Scienze 4e série. pp. 719–756  Parâmetro desconhecido |anho= ignorado (ajuda); Parâmetro desconhecido |fechaaceso= ignorado (ajuda); Parâmetro desconhecido |enlaceautor= ignorado (|autorlink=) sugerido (ajuda)

Veja também[editar | editar código-fonte]

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