Lemniscata de Gerono

O lemniscato de Gerono

Na geometria algébrica, a lemniscato de Gerono, ou lemniscato de Huygens, ou curva em forma de oito, é uma curva algébrica plana de grau quatro e gênero zero e é uma curva lemniscada em forma de símbolo $\infty$ ou figura oito. Tem equação:

$x^{4}-x^{2}+y^{2}=0.$

Foi estudado por Camille-Christophe Gerono .

Parametrização

Como a curva é do gênero zero, pode ser parametrizada por funções racionais; um meio de fazer isso é:

$x={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\ y={\frac {2t(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}.$

Outra representação é:

$x=\cos \varphi ,\ y=\sin \varphi \,\cos \varphi =\sin(2\varphi )/2$

que revela que esse lemniscato é um caso especial de uma figura de Lissajous .

Curva dupla

A curva dupla (veja a fórmula de Plücker ), mostrada abaixo, tem, portanto, um caráter um pouco diferente. Sua equação é:

$(x^{2}-y^{2})^{3}+8y^{4}+20x^{2}y^{2}-x^{4}-16y^{2}=0.$

Dupla ao lemniscato de Gerono

Referências

• J Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves Dover Publications. p. 124 ISBN 0-486-60288-5

Ligações externas

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Figure Eight Curve», MacTutor History of Mathematics archive (em inglês), Universidade de St. Andrews