Limite superior e limite inferior

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Uma ilustração dos limites superior e inferior. A sequência xn é mostrada em azul.

Em matemática, sobretudo na análise, o conceito de limite assume fundamental importância. Nem toda sequência real, no entanto, possui um limite bem definido. O limite superior e o limite inferior, não obstante, estão sempre bem definidos.

Quando uma sequência é convergente, o limite, o limite inferior e o limite superior coincidem. Reciprocamente, uma sequência possui limite quando o limite inferior coincide com o limite superior.

Também se definem limite superior e limite inferior para sequências de conjuntos.

Notação e definição[editar | editar código-fonte]

Considere uma sequência de números reais qualquer. Defina a sequência auxiliar:

A sequência é claramente não-crescente, pois é supremo de uma família cada vez menor de números reais. Por ser uma sequência monótona, seu limite existe (podendo ser infinito se cada for infinito) e o ínfimo da sequência.

O limite superior de é então definido o o limite da sequência . Denota-se:

E, de forma perfeitamente análoga, se define o limite inferior:

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Sejam e sequências de números reais, então valem as afirmações:

  • Seja uma subsequência de que possua limite, então

Limite superior e inferior de uma sequência de conjuntos[editar | editar código-fonte]

Em algumas situações, sobretudo na teoria da medida, é conveniente definir os conceitos de limite superior e inferior para uma sequência de conjuntos.

Se é uma sequência de conjuntos, então define-se:

  • O limite superior é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a uma infinidade de conjuntos .
  • O limite inferior é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a cada um dos exceto por um número finito deles.

Pode-se mostrar que estas definições coincidem com as seguintes:

É sempre verdade que . Quando estes conjuntos coincidem, dizemos que o limite existe:

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