Limites e colimites

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Na teoria das categorias, limites e colimites generalizam diversas construções, sendo produtos e coprodutos uns de seus mais simples casos particulares.[1][2]

Definição[editar | editar código-fonte]

Sejam categorias, a primeira chamada categoria de índices, e functor . Aqui, para cada , denota-se por o functor constante, definido por: para cada ; para cada morfismo em .[3]

Cones[editar | editar código-fonte]

Um cone do vértice ao functor é uma transformação natural , e, dualmente, um cone de ao vértice é uma transformação natural .[4] Em símbolos:

A condição de naturalidade para cones de a é para cada em , ou seja,

e cones de a satisfazem a condição dual.

Adicionalmente, temos functor (e analogamente ); para cada , leva uma transformação natural de componentes a uma de componentes .[5]

Limites e colimites[editar | editar código-fonte]

Em cada representação

o objeto é chamado de limite de ; o correspondente elemento universal é chamado cone limitante.

Dualmente, numa representação

o objeto é chamado de colimite de , e o elemento universal é chamado cone colimitante.

Limites e colimites são únicos a menos de isomorfismo (pelo Lema de Yoneda), e são denotados respectivamente por , .[4][1][2]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Um limite para um functor é chamado:

  • produto quando é categoria discreta (isto é, todos os seus morfismos são identidades). No caso de produtos binários, a representação acima se reduz a:
    onde são as imagens de nos dois objetos de .
  • objeto terminal quando é vazia. A representação acima se reduz a:
    onde é conjunto de exatamente um elemento.
  • equalizador quando (duas identidades, e outros dois morfismos paralelos que não são identidades).
  • produto fibrado (ou pullback) quando .

Dualmente, um colimite para é chamado:

  • coproduto quando é discreta.
  • objeto inicial quando é vazia.
  • coequalizador quando .
  • coproduto fibrado (ou pushout) quando .[6][2][1]

Quando a categoria é uma pré-ordem,

  • o limite de um functor é o ínfimo .
  • o colimite de um functor é o supremo .[7]

Existência[editar | editar código-fonte]

Categorias completas e cocompletas[editar | editar código-fonte]

Uma categoria é dita (pequeno-)completa se e só se, para cada categoria pequena , todo functor tem limite. Dualmente, é (pequeno-)cocompleta se e só se todo functor tal que é categoria pequena tem colimite.

Se tem todos os produtos pequenos e todos os equalizadores (de duplas de morfismos), então é completa. Com efeito, um limite de é o domínio do equalizador:

em que as duas setas paralelas são definidas por (abaixo, denota as projeções dos produtos):
e o cone limitante tem componentes para cada .[8]

Adjunção com o functor diagonal Δ[editar | editar código-fonte]

O functor tem adjunto direito se e só se admite todos os limites indexados por , e tem adjunto esquerdo se e só se admite todos os limites indexados por :

, .

Neste caso, , isto é, os operadores limite e colimite podem ser estendidos a functores .[9]

Functores e limites[editar | editar código-fonte]

Um functor :

  • preserva os limites de se e só se, para cada cone limitante , também é cone limitante.
  • reflete os limites de se e só se, para cada cone tal que é cone limitante, também é cone limitante.
  • cria os limites de um functor tal que tem limite se e só se também tem limite, e preserva e reflete os limites de .[10]
  • estritamente cria os limites de se e só se, para cada cone limitante , há único e cone tal que , e ainda mais este é cone limitante.[11]

(Mac Lane usa o termo cria em vez de estritamente cria.[12]) Há definições análogas para a preservação, reflexão e criação de colimites.

Um functor é dito (pequeno-)contínuo (respectivamente cocontínuo) quando preserva todos os limites pequenos (respectivamente colimites pequenos).

Referências

  1. a b c (Mac Lane, §III.3)
  2. a b c (Mac Lane, §III.4)
  3. (Mac Lane, §III.3."colimits")
  4. a b (Riehl, §3.1)
  5. (Riehl, exercício 3.1.i)
  6. (Riehl, §3.1, págs. 77–81)
  7. (Riehl, Prefácio."A tour of basic categorical notions", pág. xiv)
  8. (Mac Lane, §V.1, §V.2)
  9. (Riehl, §4.5)
  10. «Created limit – nLab». Consultado em 16 de fevereiro de 2020 
  11. (Riehl, §3.3)
  12. (Mac Lane, §V.1, definição)

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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