Lista de equações de Euler (dinâmica de corpo rígido)

Em mecânica clássica as equações de Euler descrevem a rotação de um corpo rígido num sistema de referência com os seus eixos fixos ao corpo e paralelo ao eixos principais do corpo de inércia. Em componentes cartesianas, são eles:

$J_{x}\,{\dot {\omega }}_{x\mathrm {C} }+(J_{z}-J_{y})\,\omega _{y\mathrm {C} }\,\omega _{z\mathrm {C} }=M_{x\mathrm {C} }$

$J_{y}\,{\dot {\omega }}_{y\mathrm {C} }+(J_{x}-J_{z})\,\omega _{x\mathrm {C} }\,\omega _{z\mathrm {C} }=M_{y\mathrm {C} }$

$J_{z}\,{\dot {\omega }}_{z\mathrm {C} }+(J_{y}-J_{x})\,\omega _{y\mathrm {C} }\,\omega _{x\mathrm {C} }=M_{z\mathrm {C} }$

onde $J_{i\mathrm {C} }$ são os momentos de inércia, ${\dot {\omega }}_{i\mathrm {C} }$ as acelerações angulares, $\omega _{i\mathrm {C} }$ as velocidades angulares e $M_{i\mathrm {C} }$ os torques. Todos no sistema de coordenadas do corpo rígido.

Motivação de dedução

Os cálculos que envolvem a aceleração, a aceleração angular, velocidade angular, momento angular, e a energia cinética são muitas vezes mais fáceis quando referenciados nas coordenadas do corpo. Isso porque o tensor momento de inércia $\mathbf {J} _{\mathrm {C} }$ no sistema de coordenadas do corpo não se altera com o tempo. Se o tensor dos momentos de inércia do corpo rígido (com nove componentes, dos quais seis são independentes) for diagonalizado, então obtêm-se um sistema de coordenadas (chamado de eixos principais), no qual o momento de inércia do tensor tem apenas três componentes. O momento ângular no sistema do corpo é

$\mathbf {L} _{\mathrm {C} }=\mathbf {J} _{\mathrm {C} }\,{\boldsymbol {\omega }}={\begin{bmatrix}J_{x}&0&0\\0&J_{y}&0\\0&0&J_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}J_{x}\,\omega _{x}\\J_{y}\,\omega _{y}\\J_{z}\,\omega _{z}\end{bmatrix}}~.$

No entanto, o princípio fundamental da dinâmica é definido no sistema inercial:

${\frac {d\mathbf {L} _{\mathrm {I} }}{dt}}=\mathbf {M} _{\mathrm {I} }~,$

onde $\mathbf {M}$ é o vetor torque. Para princípio fundamental da dinâmica ser resolvido com o sistema de coordenadas do corpo, o vetor do momento de inércia precisa ser transformado pela matriz de rotação $\mathbf {T} _{\mathrm {IC} }$ definida pelos ângulos de Euler. Portanto,

${\frac {d\mathbf {L} _{\mathrm {I} }}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {T} _{\mathrm {IC} }\,\mathbf {L} _{\mathrm {C} }\right)={\dot {\mathbf {T} }}_{\mathrm {IC} }\,\mathbf {L} _{\mathrm {C} }+\mathbf {T} _{\mathrm {IC} }\,{\dot {\mathbf {L} }}_{\mathrm {C} }=\mathbf {M} _{\mathrm {I} }~.$

Para se obter o torque no sistema de coordenadas do corpo, multiplica-se os dois lados por $\mathbf {T} _{\mathrm {CI} }=\mathbf {T} _{\mathrm {IC} }^{-1}$:

$\mathbf {T} _{\mathrm {CI} }\,{\dot {\mathbf {T} }}_{\mathrm {IC} }\,\mathbf {L} _{\mathrm {C} }+{\dot {\mathbf {L} }}_{\mathrm {C} }=\mathbf {M} _{\mathrm {C} }~,$

ou

$\mathbf {T} _{\mathrm {CI} }\,{\dot {\mathbf {T} }}_{\mathrm {IC} }\,{\begin{bmatrix}J_{x}\,\omega _{x\mathrm {C} }\\J_{y}\,\omega _{y\mathrm {C} }\\J_{z}\,\omega _{z\mathrm {C} }\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}J_{x}\,{\dot {\omega }}_{x\mathrm {C} }\\J_{y}\,{\dot {\omega }}_{y\mathrm {C} }\\J_{z}\,{\dot {\omega }}_{z\mathrm {C} }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}M_{x\mathrm {C} }\\M_{y\mathrm {C} }\\M_{z\mathrm {C} }\end{bmatrix}}~,$

com

$\mathbf {T} _{\mathrm {CI} }\,{\dot {\mathbf {T} }}_{\mathrm {IC} }={\begin{bmatrix}0&-\omega _{z\mathrm {C} }&\omega _{y\mathrm {C} }\\\omega _{z\mathrm {C} }&0&-\omega _{x\mathrm {C} }\\-\omega _{y\mathrm {C} }&\omega _{x\mathrm {C} }&0\end{bmatrix}}~.$

Finalmente obtê-se as famosas equações de Euler que descrevem como os componentes do vetor de velocidade angular no sistema de coordenadas do corpo evoluem no tempo,

$J_{x}\,{\dot {\omega }}_{x\mathrm {C} }+(J_{z}-J_{y})\,\omega _{y\mathrm {C} }\,\omega _{z\mathrm {C} }=M_{x\mathrm {C} }$

$J_{y}\,{\dot {\omega }}_{y\mathrm {C} }+(J_{x}-J_{z})\,\omega _{x\mathrm {C} }\,\omega _{z\mathrm {C} }=M_{y\mathrm {C} }$

$J_{z}\,{\dot {\omega }}_{z\mathrm {C} }+(J_{y}-J_{x})\,\omega _{y\mathrm {C} }\,\omega _{x\mathrm {C} }=M_{z\mathrm {C} }$

Ver Também

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