Lista de fórmulas envolvendo π

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Esta é uma lista de fórmulas significantes envolvendo a constantes matemática .

Geometria euclidiana[editar | editar código-fonte]

sendo C o perímetro da circunferência e d seu diâmetro.

sendo A a área da circunferência e r seu raio.

sendo V o volume da esfera e r seu raio.

sendo SA a área da superfície da esfera e r seu raio.

Física[editar | editar código-fonte]






  • Período de um pêndulo com pequena amplitude:


Fórmulas resultando [editar | editar código-fonte]

Integrais[editar | editar código-fonte]





(forma integral de arctan sobre o domínio dos inteiros, dando o período da tan).


(ver Integral Gaussiana).


(quando a trajetória de integração percorre uma vez no sentido anti-horário em torno de 0. Ver também fórmula integral de Cauchy)



(ver também prova de que 22/7 é maior que π).


Séries infinitas eficientes[editar | editar código-fonte]

(ver também duplo fatorial)


(ver algoritmo de Chudnovsky)


(ver Séries de Ramanujan–Sato)


[1]


As seguintes são eficientes para calcular dígitos binários arbitrários de pi:

(ver fórmula BBP)



Outras séries infinitas[editar | editar código-fonte]

  (ver também problema de Basileia e função zeta de Riemann)



, sendo B2n um números de Bernoulli.


[2]


  (ver Fórmula de Leibniz para π)







  (Euler, 1748)
Após os primeiros dois termos, os sinais são determinados como segue: Se o denominador é primo da forma 4m - 1, o sinal é positivo; se o denominador é um primo da forma 4m + 1, o sinal é negativo; para números compostos, o sinal é igual ao produto dos seus sinais em seus fatores.[3]
Também:
onde é o n-ésimo número de Fibonacci.

Fórmulas do tipo Machin[editar | editar código-fonte]

Ver também fórmula de Machin.

(Unidades dos ângulos em radianos)

(fórmula original de John Machin)










sendo o n-ésimo número de Fibonacci.

Séries infinitas[editar | editar código-fonte]

Algumas séries infinitas envolvendo pi são:[4]

onde

é o símbolo de Pochhammer.

Produtos infinitos[editar | editar código-fonte]

(Euler)
onde os numeradores são primos ímpares; cada denominador é um múltiplo de quatro próximo ao numerador.
(see also Wallis product)


Fórmula da Viète:

Frações contínuas[editar | editar código-fonte]



Para mais informações sobre esta terceira identidade ver fração contínua de Euler.

(Ver também fração contínua e fração contínua generalizada.)

Miscelânea[editar | editar código-fonte]

(fórmula de Stirling)


(identidade de Euler)


(ver função totiente de Euler)


(ver função totiente de Euler)


(ver também função gama)


(onde agm é a média aritmética-geométrica)


(where mod is the modulo function which gives the rest of a division this formula is getting better for higher n)


(soma de Riemann para avaliar a área da circunferência unitária)


(fórmula de Stirling)

Referências

  1. Cetin Hakimoglu-Brown Derivation of Rapidly Converging Infinite Series
  2. Weisstein, Eric W. "Pi Formulas", MathWorld
  3. Carl Boyer, A History of Mathematics, Chapter 21., p. 488-489
  4. Simon Plouffe / David Bailey. «The world of Pi». Pi314.net. Consultado em 29 de janeiro de 2011 
    «Collection of series for Predefinição:Pi» 🔗. Numbers.computation.free.fr. Consultado em 29 de janeiro de 2011 

Ver também[editar | editar código-fonte]

Leitura adicional[editar | editar código-fonte]